Nos itens a seguir, encontre o valor de que satisfaz o teorema do Valor Médio para Integrais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de que satisfaz o Teorema do Valor Médio para Integrais na integral . Isso envolve entender um pouco de cálculo integral e como aplicar esse teorema para encontrar um ponto específico no intervalo [1, 4].

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Valor Médio para Integrais. Esse teorema nos diz que se é contínua no intervalo [ , ], então existe pelo menos um ponto em ( , ) tal que:
Em outras palavras, o valor médio da função no intervalo é igual ao valor da função em algum ponto específico dentro desse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral definida .
Primeiro, encontremos a antiderivada de :
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 4:
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Subtraindo:
Então, .

Passo 4

Agora que temos o valor da integral, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio para encontrar . Sabemos que:
Substituindo os valores que já conhecemos:
Para encontrar :
Então, queremos encontrar tal que .

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação , onde :
Subtraindo 22 de ambos os lados:
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e :
Simplificando:
Como estamos procurando um no intervalo (1, 4), descartamos a solução negativa:

Resposta

O valor de que satisfaz o Teorema do Valor Médio para Integrais é aproximadamente .

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