Nos itens a seguir, encontre o valor de
que satisfaz o teorema do Valor Médio para Integrais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de
que satisfaz o Teorema do Valor Médio para Integrais na integral
. Isso envolve entender um pouco de cálculo integral e como aplicar esse teorema para encontrar um ponto específico
no intervalo [1, 4].
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Valor Médio para Integrais. Esse teorema nos diz que se
é contínua no intervalo [
,
], então existe pelo menos um ponto
em (
,
) tal que:
Em outras palavras, o valor médio da função no intervalo é igual ao valor da função em algum ponto específico
dentro desse intervalo.
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral definida
.
Primeiro, encontremos a antiderivada de
:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 4:
Calculando cada parte:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Então,
.
Passo 4
Agora que temos o valor da integral, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio para encontrar
. Sabemos que:
Substituindo os valores que já conhecemos:
Para encontrar
:
Então, queremos encontrar
tal que
.
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação
, onde
:
Subtraindo 22 de ambos os lados:
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
:
Simplificando:
Como estamos procurando um
no intervalo (1, 4), descartamos a solução negativa:
Resposta
O valor de
que satisfaz o Teorema do Valor Médio para Integrais é aproximadamente
.
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.
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