Nos itens a seguir, encontre o valor de c que satisfaz o teorema do Valor Médio para Integrais.
integral1^4 x^2+4 x+5 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o valor de que satisfaz o Teorema do Valor Médio para Integrais na integral . Isso envolve entender um pouco de cálculo integral e como aplicar esse teorema para encontrar um ponto específico no intervalo [1, 4].

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Valor Médio para Integrais. Esse teorema nos diz que se integrala^b f(x) , dx = f(c) times (b - a) é contínua no intervalo [ , ], então existe pelo menos um ponto em ( , ) tal que:
Em outras palavras, o valor médio da função no intervalo é igual ao valor da função em algum ponto específico dentro desse intervalo.

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral definida integral f(x) , dx = x^33 + 2x^2 + 5x + C .
Primeiro, encontremos a antiderivada de [ 4^33 + 2(4)^2 + 5(4) ] - [ 1^33 + 2(1)^2 + 5(1) ] :
643 + 2(16) + 20 = 643 + 32 + 20 = 643 + 52 = 64 + 1563 = 2203
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 4:
13 + 2(1) + 5 = 13 + 2 + 5 = 13 + 7 = 223
Calculando cada parte:
Para 2203 - 223 = 1983 = 66 :
Para :
Subtraindo:
Então, .

Passo 4

Agora que temos o valor da integral, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio para encontrar integral1^4 f(x) , dx = f(c) times (4 - 1) . Sabemos que:
66 = f(c) times 3
Substituindo os valores que já conhecemos:
f(c) = 663 = 22
Para encontrar :
Então, queremos encontrar tal que .

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação c^2 + 4c + 5 = 22 , onde c^2 + 4c + 5 - 22 = 0 c^2 + 4c - 17 = 0 :
c = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Subtraindo 22 de ambos os lados:
c = -4 pm raiz16 + 682 = -4 pm raiz842
Agora, resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
c = -4 pm 2raiz212 = -2 pm raiz21
Aqui, c = -2 + raiz21 approx -2 + 4.5837 = 2.5837 , , e :
Simplificando:
Como estamos procurando um no intervalo (1, 4), descartamos a solução negativa:

Resposta

O valor de que satisfaz o Teorema do Valor Médio para Integrais é aproximadamente .

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