Considere o problema de valor inicial
(a) Resolva o problema de valor inicial.
(b) Encontre o valor crítico de
que separa as soluções que se tornam negativas das que permanecem positivas.
(b) Encontre o valor crítico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos coeficientes indeterminados, encontrar as raízes da equação característica e aplicar as condições iniciais. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e também as condições iniciais
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos encontrar a equação característica associada:
Essa é uma equação quadrática que nos ajudará a determinar a forma da solução geral.
Passo 4
Vamos resolver a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Obtemos uma raiz dupla
.
Passo 5
Como temos raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Agora, aplicamos a primeira condição inicial
:
Então,
.
Passo 7
Vamos agora derivar
para encontrar
:
Usando a regra do produto:
Passo 8
Aplicamos a segunda condição inicial
:
Então,
Passo 9
Agora, substituímos
e
na solução geral:
Passo 10
Agora, vamos encontrar o valor crítico de
que separa as soluções que se tornam negativas das que permanecem positivas. Para isso, vamos analisar quando a solução
pode se tornar zero ou negativa.
Passo 11
A solução encontrada é:
O fator exponencial
é sempre positivo, então o sinal de
depende apenas da expressão dentro dos parênteses:
Passo 12
Queremos que
permaneça positiva para todo
. Então, a expressão dentro dos parênteses nunca deve ser zero ou negativa. Vamos encontrar quando isso acontece.
Passo 13
Para que essa desigualdade seja válida para todo
, o coeficiente de
deve ser não negativo. Ou seja:
Resolvendo para
:
Passo 14
Portanto, o valor crítico de
é
. Se
, a solução
permanecerá positiva para todo
. Se
, haverá valores de
onde
se tornará negativa.
Resposta
O valor crítico de
que separa as soluções que se tornam negativas das que permanecem positivas é: