Considere o problema de valor inicial
(a) Resolva o problema de valor inicial.
(b) Encontre o valor crítico de que separa as soluções que se tornam negativas das que permanecem positivas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos coeficientes indeterminados, encontrar as raízes da equação característica e aplicar as condições iniciais. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial:
Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e também as condições iniciais e .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos encontrar a equação característica associada:
Essa é uma equação quadrática que nos ajudará a determinar a forma da solução geral.

Passo 4

Vamos resolver a equação característica usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:
Obtemos uma raiz dupla .

Passo 5

Como temos raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Agora, aplicamos a primeira condição inicial :
Então, .

Passo 7

Vamos agora derivar para encontrar :
Usando a regra do produto:

Passo 8

Aplicamos a segunda condição inicial :
Então,

Passo 9

Agora, substituímos e na solução geral:

Passo 10

Agora, vamos encontrar o valor crítico de que separa as soluções que se tornam negativas das que permanecem positivas. Para isso, vamos analisar quando a solução pode se tornar zero ou negativa.

Passo 11

A solução encontrada é:
O fator exponencial é sempre positivo, então o sinal de depende apenas da expressão dentro dos parênteses:

Passo 12

Queremos que permaneça positiva para todo . Então, a expressão dentro dos parênteses nunca deve ser zero ou negativa. Vamos encontrar quando isso acontece.

Passo 13

Para que essa desigualdade seja válida para todo , o coeficiente de deve ser não negativo. Ou seja:
Resolvendo para :

Passo 14

Portanto, o valor crítico de é . Se , a solução permanecerá positiva para todo . Se , haverá valores de onde se tornará negativa.

Resposta

O valor crítico de que separa as soluções que se tornam negativas das que permanecem positivas é:

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