Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .
Passo 1
Resumo do Enunciado e Identificação do Conteúdo
Vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a integral de linha da função vetorial ao longo de uma curva que liga os pontos e depende do caminho escolhido. Depois, precisamos calcular o valor dessa integral usando uma curva conveniente.
Conteúdo da Matéria
Esse exercício está relacionado com Campos Vetoriais Conservativos e Integral de Linha. Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar uma função potencial para tal campo.
Passo 2
Verificando se o Campo é Conservativo
Primeiro, vamos ver se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que:
Isso significa que pode ser derivada de uma função potencial .
Passo 3
Encontrando a Função Potencial
Vamos encontrar tal que:
Integrando cada uma dessas equações:
Integração em relação a :
Integração em relação a :
Integrando:
Integração em relação a :
Integrando:
Portanto, a função potencial é:
Podemos ignorar a constante para facilitar.
Passo 4
Calculando a Integral de Linha Usando o Campo Conservativo
Como é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho. A integral é dada por:
Passo 5
Calculando os Valores da Função Potencial nos Pontos Dados