Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde F(x, y, z)=2 x i+2 y j+2 z k e C é uma curva diferenciável ligando os pontos (0,0,0) e (2,3,-6).
Passo 1
Resumo do Enunciado e Identificação do Conteúdo
Vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a integral de linha da função vetorial F(x, y, z) = 2x,i + 2y,j + 2z,k ao longo de uma curva C que liga os pontos (0,0,0) e (2,3,-6) depende do caminho escolhido. Depois, precisamos calcular o valor dessa integral usando uma curva conveniente.
Conteúdo da Matéria
Esse exercício está relacionado com Campos Vetoriais Conservativos e Integral de Linha. Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar uma função potencial para tal campo.
Passo 2
Verificando se o Campo é Conservativo
Primeiro, vamos ver se o campo F é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar phi(x, y, z) tal que:
F = nabla phi
Isso significa que F pode ser derivada de uma função potencial phi.
Passo 3
Encontrando a Função Potencial
Vamos encontrar phi tal que:
partial phipartial x = 2x, partial phipartial y = 2y, partial phipartial z = 2z
Integrando cada uma dessas equações:
Integração em relação a x:
phi = integral 2x,dx = x^2 + g(y, z)
Integração em relação a y:
partial phipartial y = 2y = partialpartial y(x^2 + g(y, z)) Rightarrow partial gpartial y = 2y
Integrando:
g(y, z) = y^2 + h(z)
Integração em relação a z:
partial phipartial z = 2z = partialpartial z(x^2 + y^2 + h(z)) Rightarrow partial hpartial z = 2z
Integrando:
h(z) = z^2 + C
Portanto, a função potencial é:
phi(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 + C
Podemos ignorar a constante C para facilitar.
Passo 4
Calculando a Integral de Linha Usando o Campo Conservativo
Como F é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho. A integral é dada por:
integralC F cdot dr = phi(2, 3, -6) - phi(0, 0, 0)
Passo 5
Calculando os Valores da Função Potencial nos Pontos Dados