Verifique que a integral integralC F cdot d r não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde
F(x, y, z)=2 x i+2 y j+2 z k e C é uma curva diferenciável ligando os pontos (0,0,0) e (2,3,-6).

Passo 1

Resumo do Enunciado e Identificação do Conteúdo
Vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a integral de linha da função vetorial F(x, y, z) = 2x,i + 2y,j + 2z,k ao longo de uma curva C que liga os pontos (0,0,0) e (2,3,-6) depende do caminho escolhido. Depois, precisamos calcular o valor dessa integral usando uma curva conveniente.
Conteúdo da Matéria
Esse exercício está relacionado com Campos Vetoriais Conservativos e Integral de Linha. Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar uma função potencial para tal campo.

Passo 2

Verificando se o Campo é Conservativo
Primeiro, vamos ver se o campo F é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar phi(x, y, z) tal que:
F = nabla phi
Isso significa que F pode ser derivada de uma função potencial phi.

Passo 3

Encontrando a Função Potencial
Vamos encontrar phi tal que:
partial phipartial x = 2x, partial phipartial y = 2y, partial phipartial z = 2z
Integrando cada uma dessas equações:
  1. Integração em relação a x:
phi = integral 2x,dx = x^2 + g(y, z)
  1. Integração em relação a y:
partial phipartial y = 2y = partialpartial y(x^2 + g(y, z)) Rightarrow partial gpartial y = 2y
Integrando:
g(y, z) = y^2 + h(z)
  1. Integração em relação a z:
partial phipartial z = 2z = partialpartial z(x^2 + y^2 + h(z)) Rightarrow partial hpartial z = 2z
Integrando:
h(z) = z^2 + C
Portanto, a função potencial é:
phi(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 + C
Podemos ignorar a constante C para facilitar.

Passo 4

Calculando a Integral de Linha Usando o Campo Conservativo
Como F é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho. A integral é dada por:
integralC F cdot dr = phi(2, 3, -6) - phi(0, 0, 0)

Passo 5

Calculando os Valores da Função Potencial nos Pontos Dados
Vamos calcular phi nos pontos (2,3,-6) e (0,0,0):
  1. Em (2, 3, -6):
phi(2, 3, -6) = (2)^2 + (3)^2 + (-6)^2 = 4 + 9 + 36 = 49
  1. Em (0, 0, 0):
phi(0, 0, 0) = 0^2 + 0^2 + 0^2 = 0

Resposta

A integral de linha é igual a 49.

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