Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .

Passo 1

Resumo do Enunciado e Identificação do Conteúdo
Vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a integral de linha da função vetorial ao longo de uma curva que liga os pontos e depende do caminho escolhido. Depois, precisamos calcular o valor dessa integral usando uma curva conveniente.
Conteúdo da Matéria
Esse exercício está relacionado com Campos Vetoriais Conservativos e Integral de Linha. Para resolver, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e como encontrar uma função potencial para tal campo.

Passo 2

Verificando se o Campo é Conservativo
Primeiro, vamos ver se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que:
Isso significa que pode ser derivada de uma função potencial .

Passo 3

Encontrando a Função Potencial
Vamos encontrar tal que:
Integrando cada uma dessas equações:
  1. Integração em relação a :
  1. Integração em relação a :
Integrando:
  1. Integração em relação a :
Integrando:
Portanto, a função potencial é:
Podemos ignorar a constante para facilitar.

Passo 4

Calculando a Integral de Linha Usando o Campo Conservativo
Como é conservativo, a integral de linha depende apenas dos pontos inicial e final, não do caminho. A integral é dada por:

Passo 5

Calculando os Valores da Função Potencial nos Pontos Dados
Vamos calcular nos pontos e :
  1. Em :
  1. Em :

Resposta

A integral de linha é igual a 49.

Exercícios relacionados

Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.
Considere o problema de valor inicial
(a) Resolva o problema de valor inicial.
(b) Encontre o valor crítico de que separa as soluções que se tornam negativas das que permanecem positivas.
Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .
Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .