Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial dado por:
O objetivo é determinar se esse campo é conservativo. Se for, também precisamos encontrar uma função potencial associada a ele. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional (ou curl) de um campo vetorial e a definição de campo conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função escalar tal que:
Isso significa que pode ser derivado de uma potencial . Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional de é igual a zero:
Então, para verificar se o campo é conservativo, vamos calcular o rotacional de .

Passo 3

Calcular o rotacional de envolve usar a seguinte fórmula:
Vamos identificar as componentes de :
Agora, vamos calcular cada termo do rotacional.

Passo 4

Primeiro, calculamos e :
Agora, subtraímos esses resultados para a componente :

Passo 5

Em seguida, calculamos e :
Subtraindo para a componente :

Passo 6

Finalmente, calculamos e :
Subtraindo para a componente :

Passo 7

Agora, juntamos todas as componentes do rotacional:
Como o rotacional de é zero, isso confirma que o campo é conservativo.

Passo 8

Como o campo é conservativo, existe uma função potencial tal que:
Ou seja:
Vamos integrar uma das equações para encontrar . Vamos começar integrando a primeira equação em relação a :
onde é uma função que pode depender de e .

Passo 9

Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar :
Derivando em relação a :
Isso implica que:
Portanto, não depende de , ou seja, .

Passo 10

Finalmente, usamos a terceira equação para determinar :
Derivando em relação a :
Isso implica que:
onde é uma constante.

Resposta

A função potencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.
Considere o problema de valor inicial
(a) Resolva o problema de valor inicial.
(b) Encontre o valor crítico de que separa as soluções que se tornam negativas das que permanecem positivas.
Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.