Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um campo vetorial dado por:
O objetivo é determinar se esse campo é conservativo. Se for, também precisamos encontrar uma função potencial associada a ele. Para isso, vamos precisar conhecer conceitos de cálculo vetorial, como o rotacional (ou curl) de um campo vetorial e a definição de campo conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo vetorial ser conservativo. Um campo
é conservativo se existir uma função escalar
tal que:
Isso significa que
pode ser derivado de uma potencial
. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional de
é igual a zero:
Então, para verificar se o campo é conservativo, vamos calcular o rotacional de
.
Passo 3
Calcular o rotacional de
envolve usar a seguinte fórmula:
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, vamos calcular cada termo do rotacional.
Passo 4
Primeiro, calculamos
e
:
Agora, subtraímos esses resultados para a componente
:
Passo 5
Em seguida, calculamos
e
:
Subtraindo para a componente
:
Passo 6
Finalmente, calculamos
e
:
Subtraindo para a componente
:
Passo 7
Agora, juntamos todas as componentes do rotacional:
Como o rotacional de
é zero, isso confirma que o campo é conservativo.
Passo 8
Como o campo é conservativo, existe uma função potencial
tal que:
Ou seja:
Vamos integrar uma das equações para encontrar
. Vamos começar integrando a primeira equação em relação a
:
onde
é uma função que pode depender de
e
.
Passo 9
Agora, vamos usar a segunda equação para encontrar
:
Derivando
em relação a
:
Isso implica que:
Portanto,
não depende de
, ou seja,
.
Passo 10
Finalmente, usamos a terceira equação para determinar
:
Derivando
em relação a
:
Isso implica que:
onde
é uma constante.
Resposta
A função potencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço, se seu vetor posição em um instante qualquer
, for dado por:
.
Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.
Considere o problema de valor inicial
(a) Resolva o problema de valor inicial.
(b) Encontre o valor crítico de que separa as soluções que se tornam negativas das que permanecem positivas.
(b) Encontre o valor crítico de
Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.