Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se o campo vetorial é conservativo. Se for, vamos encontrar uma função potencial para ele. Para isso, vamos usar os conceitos de cálculo vetorial sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar tal que . Isso significa que:
Para o campo ser conservativo, devemos ter que a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a :

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
Comparando as duas derivadas:
Como , o campo não satisfaz a condição necessária para ser conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo.

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Considere o problema de valor inicial
(a) Resolva o problema de valor inicial.
(b) Encontre o valor crítico de que separa as soluções que se tornam negativas das que permanecem positivas.
Determine se o campo é conservativo. Em caso afirmativo encontre um potencial.
Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .
Verifique que a integral não depende do caminho, em seguida calcule o seu valor usando uma curva adequada, onde
e é uma curva diferenciável ligando os pontos e .