Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço, se seu vetor posição em um instante qualquer , for dado por: .

Passo 1

Beleza, pessoal! Vamos resolver um exercício de física que envolve vetores de posição, velocidade e aceleração. Nosso objetivo aqui é encontrar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e projeções. Preparados? Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar o que o problema está nos dando. A partícula tem um vetor posição dado por:
Isso significa que, para qualquer instante de tempo , a posição da partícula no espaço é determinada por essas três coordenadas.

Passo 3

Para encontrar a aceleração, precisamos primeiro achar a velocidade, que é a primeira derivada do vetor posição em relação ao tempo. Vamos calcular isso:
Então, a velocidade da partícula é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração, que é a segunda derivada do vetor posição ou a primeira derivada da velocidade:
Então, a aceleração da partícula é .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar as componentes tangencial ( ) e normal ( ) da aceleração. Para isso, vamos usar as seguintes fórmulas:
  • Componente tangencial:
    Isso significa que é o valor da projeção da aceleração na direção da velocidade.
  • Componente normal:
    Ou, alternativamente:
    Aqui, representa a parte da aceleração que é perpendicular à velocidade.

Passo 6

Vamos calcular primeiro. Primeiro, precisamos do produto escalar e do módulo de :
Agora, calculamos o módulo de :
Então,

Passo 7

Agora, vamos calcular . Primeiro, encontramos o módulo de :
Agora, usando a fórmula :
Vamos simplificar a expressão:
Podemos simplificar para :

Resposta

As componentes da aceleração são:
  • Componente tangencial:
  • Componente normal:

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