Determinar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço, se seu vetor posição em um instante qualquer
, for dado por:
.
Passo 1
Beleza, pessoal! Vamos resolver um exercício de física que envolve vetores de posição, velocidade e aceleração. Nosso objetivo aqui é encontrar as componentes tangencial e normal da aceleração de uma partícula que se move no espaço. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e projeções. Preparados? Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar o que o problema está nos dando. A partícula tem um vetor posição dado por:
Isso significa que, para qualquer instante de tempo
, a posição da partícula no espaço é determinada por essas três coordenadas.
Passo 3
Para encontrar a aceleração, precisamos primeiro achar a velocidade, que é a primeira derivada do vetor posição em relação ao tempo. Vamos calcular isso:
Então, a velocidade da partícula é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração, que é a segunda derivada do vetor posição ou a primeira derivada da velocidade:
Então, a aceleração da partícula é
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar as componentes tangencial (
) e normal (
) da aceleração. Para isso, vamos usar as seguintes fórmulas:
-
Componente tangencial:Isso significa que
é o valor da projeção da aceleração na direção da velocidade. -
Componente normal:Ou, alternativamente:Aqui,
representa a parte da aceleração que é perpendicular à velocidade.
Passo 6
Vamos calcular
primeiro. Primeiro, precisamos do produto escalar
e do módulo de
:
Agora, calculamos o módulo de
:
Então,
Passo 7
Agora, vamos calcular
. Primeiro, encontramos o módulo de
:
Agora, usando a fórmula
:
Vamos simplificar a expressão:
Podemos simplificar
para
:
Resposta
As componentes da aceleração são:
-
Componente tangencial:
-
Componente normal:
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Considere o problema de valor inicial
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(b) Encontre o valor crítico de