Considere o problema de valor inicial (b) Encontre tal que quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: com as condições iniciais e . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de que faz com que . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares homogêneas e seus métodos de solução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral dessa equação diferencial. Para isso, a gente começa encontrando a **equação característica**, que é uma ferramenta que transforma a EDO em uma equação algébrica. A equação característica para nossa EDO é: Isso porque substituímos por , por , e por 1.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . A fórmula de Bhaskara nos ajuda aqui: Para nossa equação , temos , , e . Calculando o discriminante: Como o discriminante é negativo (), sabemos que as ra��zes serão **complexas**.

Passo 4

Com raízes complexas, a solução geral da EDO é dada por: Onde e . Então, substituindo:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, quando : Então, .

Passo 6

Em seguida, calculamos a derivada de para aplicar : Simplificando em : Então:

Passo 7

Agora, queremos que . Substituindo na solução: Multiplicando ambos os lados por : Resolvendo para :

Resposta

O valor de que satisfaz é:

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