Considere o problema de valor inicial
(b) Encontre tal que quando .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de que faz com que . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares homogêneas e seus métodos de solução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral dessa equação diferencial. Para isso, a gente começa encontrando a **equação característica**, que é uma ferramenta que transforma a EDO em uma equação algébrica. A equação característica para nossa EDO é:
Isso porque substituímos por , por , e por 1.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . A fórmula de Bhaskara nos ajuda aqui:
Para nossa equação , temos , , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo ( ), sabemos que as ra��zes serão **complexas**.
Passo 4
Com raízes complexas, a solução geral da EDO é dada por:
Onde e . Então, substituindo:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, quando :
Então, .
Passo 6
Em seguida, calculamos a derivada de para aplicar :
Simplificando em :
Então:
Passo 7
Agora, queremos que . Substituindo na solução:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para :
Resposta
O valor de que satisfaz é:
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