Considere o problema de valor inicial
y'' + 2y' + 6y = 0, y(0) = 2, y'(0) = a ≥ 0
(b) Encontre a tal que y = 0 quando t = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de que faz com que . Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares homogêneas e seus métodos de solução.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução geral dessa equação diferencial. Para isso, a gente começa encontrando a equação característica, que é uma ferramenta que transforma a EDO em uma equação algébrica. A equação característica para nossa EDO é:
Isso porque substituímos por , por , e por 1.

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . A fórmula de Bhaskara nos ajuda aqui:
Para nossa equação , temos , , e . Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo ( ), sabemos que as ra��zes serão complexas.

Passo 4

Com raízes complexas, a solução geral da EDO é dada por:
Onde e . Então, substituindo:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e . Primeiro, quando :
Então, .

Passo 6

Em seguida, calculamos a derivada de para aplicar :
Simplificando em :
Então:

Passo 7

Agora, queremos que . Substituindo na solução:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para :

Resposta

O valor de que satisfaz é:

Exercícios relacionados