Considere o problema de valor inicial
(b) Encontre
tal que
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de
que faz com que
. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais lineares homogêneas e seus métodos de solução.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução geral dessa equação diferencial. Para isso, a gente começa encontrando a equação característica, que é uma ferramenta que transforma a EDO em uma equação algébrica. A equação característica para nossa EDO é:
Isso porque substituímos
por
,
por
, e
por 1.
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A fórmula de Bhaskara nos ajuda aqui:
Para nossa equação
, temos
,
, e
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo (
), sabemos que as ra��zes serão complexas.
Passo 4
Com raízes complexas, a solução geral da EDO é dada por:
Onde
e
. Então, substituindo:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
. Primeiro, quando
:
Então,
.
Passo 6
Em seguida, calculamos a derivada de
para aplicar
:
Simplificando em
:
Então:
Passo 7
Agora, queremos que
. Substituindo
na solução:
Multiplicando ambos os lados por
:
Resolvendo para
:
Resposta
O valor de
que satisfaz
é: