(a) Determine extremos absolutos para
no intervalo [-2,2].
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os extremos absolutos da função
no intervalo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, e onde essa inclinação é zero, temos potenciais pontos de máximo ou mínimo.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde
ou onde a derivada não existe. No nosso caso, a derivada sempre existe, então vamos resolver:
Podemos fatorar:
Então, as soluções são
e
.
Passo 4
Precisamos verificar se esses pontos críticos estão dentro do intervalo
. Tanto
quanto
estão dentro desse intervalo.
Agora, vamos calcular o valor da função
nesses pontos e também nos extremos do intervalo.
Calculando:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Passo 5
Agora, com os valores calculados:
Vamos comparar esses valores para determinar qual é o máximo e qual é o mínimo no intervalo.
- Máximo absoluto:
em - Mínimo absoluto:
em
Resposta
No intervalo
, a função
tem:
- Máximo absoluto de
em - Mínimo absoluto de
em
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determine
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(b) Encontre
tal que
quando
.
(d) Seja
derivável, decrescente em um intervalo
e
para todo
então a gráfica de
é crescente.