(a) Determine extremos absolutos para f(x) = x^3 - 3 x^2 - 9 no intervalo [-2,2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar os extremos absolutos da função no intervalo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, e onde essa inclinação é zero, temos potenciais pontos de máximo ou mínimo.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde ou onde a derivada não existe. No nosso caso, a derivada sempre existe, então vamos resolver:
Podemos fatorar:
Então, as soluções são e .

Passo 4

Precisamos verificar se esses pontos críticos estão dentro do intervalo . Tanto quanto estão dentro desse intervalo.
Agora, vamos calcular o valor da função nesses pontos e também nos extremos do intervalo.
Calculando:
  • Em :
  • Em :
  • Em :

Passo 5

Agora, com os valores calculados:
Vamos comparar esses valores para determinar qual é o máximo e qual é o mínimo no intervalo.
  • Máximo absoluto: em
  • Mínimo absoluto: em

Resposta

No intervalo , a função tem:
  • Máximo absoluto de em
  • Mínimo absoluto de em

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