(d) Seja
derivável, decrescente em um intervalo
e
para todo
então a gráfica de
é crescente.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício diz: Temos uma função
que é derivável e está sempre diminuindo (decrescente) em um intervalo
. Além disso, a derivada de
, ou seja,
, nunca é zero nesse intervalo. A gente precisa mostrar que o gráfico da função
está sempre subindo, ou seja, é crescente. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
em relação a
. A derivada nos ajuda a saber se a função está aumentando ou diminuindo.
Passo 3
Usando a regra da derivada para funções do tipo
, temos:
Passo 4
Sabemos que
é decrescente no intervalo
, ou seja, a derivada
é negativa (
) para todo
nesse intervalo. Além disso, como
nunca é zero, o denominador
sempre será positivo.
Passo 5
Vamos analisar a derivada de
:
Como
é negativo e temos um sinal de menos na frente, isso faz com que
seja positivo:
Resposta
Como
, o gráfico de
é crescente no intervalo
.
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(b) Encontre
tal que
quando
.
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no intervalo [-2,2].
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que esteja mais proximo ao ponto
. [Resp:(1,1)].