(d) Seja derivável, decrescente em um intervalo e para todo então a gráfica de é crescente.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício diz: Temos uma função que é derivável e está sempre diminuindo (decrescente) em um intervalo . Além disso, a derivada de , ou seja, , nunca é zero nesse intervalo. A gente precisa mostrar que o gráfico da função está sempre subindo, ou seja, é crescente. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a . A derivada nos ajuda a saber se a função está aumentando ou diminuindo.

Passo 3

Usando a regra da derivada para funções do tipo , temos:

Passo 4

Sabemos que é decrescente no intervalo , ou seja, a derivada é negativa ( ) para todo nesse intervalo. Além disso, como nunca é zero, o denominador sempre será positivo.

Passo 5

Vamos analisar a derivada de :
Como é negativo e temos um sinal de menos na frente, isso faz com que seja positivo:

Resposta

Como , o gráfico de é crescente no intervalo .

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Considere o problema de valor inicial
(b) Encontre tal que quando .
(a) Determine extremos absolutos para no intervalo [-2,2].
Considere o problema de valor inicial
(d) Determine o limite da expressão encontrado no item © quando
Encontre as coordenadas do ponto da curva que esteja mais proximo ao ponto . [Resp:(1,1)].