(d) Seja f derivável, decrescente em um intervalo I e f'(x) ≠ 0 para todo x in I então a gráfica de y = 1/f(x) é crescente.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício diz: Temos uma função que é derivável e está sempre diminuindo (decrescente) em um intervalo . Além disso, a derivada de , ou seja, , nunca é zero nesse intervalo. A gente precisa mostrar que o gráfico da função está sempre subindo, ou seja, é crescente. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função em relação a . A derivada nos ajuda a saber se a função está aumentando ou diminuindo.

Passo 3

Usando a regra da derivada para funções do tipo , temos:

Passo 4

Sabemos que é decrescente no intervalo , ou seja, a derivada é negativa ( ) para todo nesse intervalo. Além disso, como nunca é zero, o denominador sempre será positivo.

Passo 5

Vamos analisar a derivada de :
Como é negativo e temos um sinal de menos na frente, isso faz com que seja positivo:

Resposta

Como , o gráfico de é crescente no intervalo .

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