Considere o problema de valor inicial
(d) Determine o limite da expressão encontrado no item © quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
, onde
. O conteúdo principal aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula característica e entender como encontrar as soluções gerais dessas equações.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. Para isso, a gente monta a fórmula característica:
Resolvendo essa equação quadrática para
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Como a raiz é negativa, nossos valores de
são complexos:
Passo 3
Com as raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, quando
:
Então,
.
Agora, vamos calcular a derivada de
:
Simplificando na hora de
:
Então:
Passo 4
Agora que temos os valores de
e
, nossa solução completa é:
Queremos encontrar o limite dessa expressão quando
para
.
Vamos substituir
:
Sabemos que
e
, então:
Perceba que, à primeira vista, a expressão não depende de
. No entanto, se considerarmos que no item © houve outra expressão envolvendo
, precisamos reavaliar. Mas, com base na solução atual, o termo com
desaparece devido ao
.
Resposta
O limite da expressão quando
para
é: