Considere o problema de valor inicial
y'' + 2y' + 6y = 0, y(0) = 2, y'(0) = a ≥ 0
(d) Determine o limite da expressão encontrado no item © quando a -> infinito t = pi / raiz(5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e , onde . O conteúdo principal aqui é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula característica e entender como encontrar as soluções gerais dessas equações.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. Para isso, a gente monta a fórmula característica:
Resolvendo essa equação quadrática para , usamos a fórmula de Bhaskara:
Como a raiz é negativa, nossos valores de são complexos:

Passo 3

Com as raízes complexas, a solução geral da equação diferencial é:
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, quando :
Então, .
Agora, vamos calcular a derivada de :
Simplificando na hora de :
Então:

Passo 4

Agora que temos os valores de e , nossa solução completa é:
Queremos encontrar o limite dessa expressão quando para .
Vamos substituir :
Sabemos que e , então:
Perceba que, à primeira vista, a expressão não depende de . No entanto, se considerarmos que no item © houve outra expressão envolvendo , precisamos reavaliar. Mas, com base na solução atual, o termo com desaparece devido ao .

Resposta

O limite da expressão quando para é:

Exercícios relacionados