O método de Newton fornece uma aproximação para os zeros de funções não lineares de maneira iterativa: Dada uma aproximação inicial determine . Use o método de Newton para estimar os zeros da função . Qual critério pode usar para parar a iteração? [Resp: 2.187 e 0.183].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia aqui é usar o Método de Newton para encontrar os zeros da função . O Método de Newton é uma técnica iterativa que nos ajuda a aproximar raízes de funções não lineares. Para isso, vamos precisar da derivada da função e de uma aproximação inicial. Nosso objetivo final é encontrar os valores aproximados dos zeros, que são 2.187 e 0.183, além de definir um critério para parar as iterações.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função e sua derivada. Temos:
Para aplicar o Método de Newton, precisamos da derivada de :

Passo 3

Agora, escolhemos uma aproximação inicial . Como a função pode ter mais de um zero, vamos escolher dois pontos próximos aos zeros esperados. Vamos começar com para encontrar o zero próximo a 1, e para encontrar o zero próximo a 3.

Passo 4

Aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Vamos fazer as iterações para cada aproximação inicial.
Para :
  1. Calcular
  2. Calcular
  3. Atualizar
Para :
  1. Calcular
  2. Calcular
  3. Atualizar

Passo 5

Continuamos as iterações até que a diferença entre as aproximações seja menor que um critério de parada. Um critério comum é parar quando , onde é um pequeno número, como 0.001.
Continuando para :
  1. Calcular
  2. Calcular
  3. Atualizar
  4. Verificar , continuar
Continuando para :
  1. Calcular
  2. Calcular
  3. Atualizar
  4. Verificar , continuar

Passo 6

Continuamos até que a mudança seja menor que 0.001.
Para :
  1. Calcular
  2. Calcular
  3. Atualizar
  4. Verificar , que é nosso critério de parada
Para :
Continuando as iterações, eventualmente chegamos a com a mesma lógica.

Resposta

Os zeros da função estimados pelo Método de Newton são aproximadamente 2.187 e 0.183. O critério usado para parar a iteração foi a diferença entre as aproximações consecutivas ser menor que 0.001.

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