O método de Newton fornece uma aproximação para os zeros de funções não lineares de maneira iterativa: Dada uma aproximação inicial
determine
. Use o método de Newton para estimar os zeros da função
. Qual critério pode usar para parar a iteração? [Resp: 2.187 e 0.183].
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A ideia aqui é usar o Método de Newton para encontrar os zeros da função
. O Método de Newton é uma técnica iterativa que nos ajuda a aproximar raízes de funções não lineares. Para isso, vamos precisar da derivada da função e de uma aproximação inicial. Nosso objetivo final é encontrar os valores aproximados dos zeros, que são 2.187 e 0.183, além de definir um critério para parar as iterações.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função e sua derivada. Temos:
Para aplicar o Método de Newton, precisamos da derivada de
:
Passo 3
Agora, escolhemos uma aproximação inicial
. Como a função pode ter mais de um zero, vamos escolher dois pontos próximos aos zeros esperados. Vamos começar com
para encontrar o zero próximo a 1, e
para encontrar o zero próximo a 3.
Passo 4
Aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Vamos fazer as iterações para cada aproximação inicial.
Para
:
- Calcular
- Calcular
- Atualizar
Para
:
- Calcular
- Calcular
- Atualizar
Passo 5
Continuamos as iterações até que a diferença entre as aproximações seja menor que um critério de parada. Um critério comum é parar quando
, onde
é um pequeno número, como 0.001.
Continuando para
:
-
- Calcular
- Calcular
- Atualizar
- Verificar
, continuar
Continuando para
:
-
- Calcular
- Calcular
- Atualizar
- Verificar
, continuar
Passo 6
Continuamos até que a mudança seja menor que 0.001.
Para
:
- Calcular
- Calcular
- Atualizar
- Verificar
, que é nosso critério de parada
Para
:
Continuando as iterações, eventualmente chegamos a com a mesma lógica.
Continuando as iterações, eventualmente chegamos a
Resposta
Os zeros da função
estimados pelo Método de Newton são aproximadamente 2.187 e 0.183. O critério usado para parar a iteração foi a diferença entre as aproximações consecutivas ser menor que 0.001.
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]
Se
for uma constante,
, então
desde que
.
(a) Determine extremos absolutos para
no intervalo [-2,2].
Considere o problema de valor inicial
(b) Encontre
tal que
quando
.