Encontre as coordenadas do ponto da curva que esteja mais proximo ao ponto . [Resp:(1,1)].

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar as coordenadas do ponto na curva que está mais perto do ponto . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a minimização da distância entre pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre dois pontos e é dada por:
Aqui, queremos minimizar essa distância entre um ponto qualquer na curva , que podemos chamar de , e o ponto .

Passo 3

Vamos substituir na fórmula da distância:
Para facilitar a minimização, podemos minimizar o quadrado da distância , já que a função raiz é crescente e o mínimo de será o mesmo que o mínimo de .

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos:

Passo 5

Para encontrar o mínimo dessa função, vamos derivar em relação a e igualar a zero:

Passo 6

Encontramos . Agora, vamos encontrar o valor de correspondente usando a equação da curva :

Resposta

O ponto na curva que está mais próximo de é .

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(b)
Derive