Encontre as coordenadas do ponto da curva
que esteja mais proximo ao ponto
. [Resp:(1,1)].
Passo 1
Ok, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar as coordenadas do ponto na curva
que está mais perto do ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a minimização da distância entre pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula da distância entre dois pontos
e
é dada por:
Aqui, queremos minimizar essa distância entre um ponto qualquer na curva
, que podemos chamar de
, e o ponto
.
Passo 3
Vamos substituir
na fórmula da distância:
Para facilitar a minimização, podemos minimizar o quadrado da distância
, já que a função raiz é crescente e o mínimo de
será o mesmo que o mínimo de
.
Passo 4
Agora, vamos expandir os termos:
Passo 5
Para encontrar o mínimo dessa função, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Passo 6
Encontramos
. Agora, vamos encontrar o valor de
correspondente usando a equação da curva
:
Resposta
O ponto na curva
que está mais próximo de
é
.
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Considere o problema de valor inicial
(d) Determine o limite da expressão encontrado no item © quando
(d) Seja
derivável, decrescente em um intervalo
e
para todo
então a gráfica de
é crescente.
Resolva as equações de Euler
(b)
(b)
Derive