Considere o problema de valor inicial
y'' + 2y' + 6y = 0, y(0) = 2, y'(0) = alpha ≥ 0
(b) Encontre alpha tal que y = 1 quando t = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. O enunciado nos dá a seguinte equação:
E precisamos encontrar o valor de alpha que faz com que y = 1 quando t = 1. Para isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Para resolver isso, encontramos a equação característica associada:

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
Como temos um discriminante negativo ( ), as raízes são complexas:

Passo 4

Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e , então:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, quando t = 0, :
Então, .
Agora, vamos derivar y(t) para encontrar :
Simplificando e avaliando em t = 0:

Passo 6

Temos que , então:
Agora, nossa solução fica:

Passo 7

A próxima condição é que . Vamos usar isso para encontrar alpha:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Isolando alpha:
Multiplicando ambos os lados por raiz(5):
Finalmente, resolvendo para alpha:

Resposta

O valor de alpha que satisfaz y = 1 quando t = 1 é:

Exercícios relacionados