Considere o problema de valor inicial
(b) Encontre tal que quando .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. O enunciado nos dá a seguinte equação:
E precisamos encontrar o valor de que faz com que quando . Para isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Para resolver isso, encontramos a equação característica associada:

Passo 3

Vamos resolver a equação característica:
Como temos um discriminante negativo ( ), as raízes são complexas:

Passo 4

Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e , então:

Passo 5

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, quando , :
Então, .
Agora, vamos derivar para encontrar :
Simplificando e avaliando em :

Passo 6

Temos que , então:
Agora, nossa solução fica:

Passo 7

A próxima condição é que . Vamos usar isso para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Isolando :
Multiplicando ambos os lados por :
Finalmente, resolvendo para :

Resposta

O valor de que satisfaz quando é:

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Encontre a solução do problema de valor inicial.
,
Encontre a solução geral da equação diferencial.
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