Considere o problema de valor inicial
(b) Encontre
tal que
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial de segunda ordem. O enunciado nos dá a seguinte equação:
E precisamos encontrar o valor de
que faz com que
quando
. Para isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e aplicar as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
Para resolver isso, encontramos a equação característica associada:
Passo 3
Vamos resolver a equação característica:
Como temos um discriminante negativo (
), as raízes são complexas:
Passo 4
Com raízes complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
, então:
Passo 5
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, quando
,
:
Então,
.
Agora, vamos derivar
para encontrar
:
Simplificando e avaliando em
:
Passo 6
Temos que
, então:
Agora, nossa solução fica:
Passo 7
A próxima condição é que
. Vamos usar isso para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Isolando
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Finalmente, resolvendo para
:
Resposta
O valor de
que satisfaz
quando
é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução do problema de valor inicial.
,
Encontre a solução geral da equação diferencial.
- Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
- Encontre uma equação diferencial que admite as duas soluções
e .