- Encontre uma equação diferencial que admite as duas soluções
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é encontrar uma equação diferencial que tenha como soluções as funções
e
. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, lembremos que se uma função da forma
é solução de uma equação diferencial linear homogênea, então o valor de
satisfaz a chamada equação característica dessa equação diferencial.
Passo 3
Vamos determinar a equação característica. Sabemos que as raízes dessa equação são exatamente os expoentes dos termos de
. No nosso caso, temos duas soluções com
e
.
Assim, a equação característica será:
Ao expandir isso, fica:
Passo 4
Agora que temos a equação característica
, podemos escrever a equação diferencial correspondente. A forma geral da equação diferencial para uma equação característica de segundo grau
é:
Aplicando isso ao nosso caso:
Resposta
A equação diferencial que admite as duas soluções dadas é:
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- Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Considere o problema de valor inicial
(b) Encontre
tal que
quando
.
Sejam
e
funções diferenciáveis em um intervalo aberto
. Mostre que, em geral, não é verdade que
, para todo
em
.
Encontre a solução geral da equação diferencial.