• Encontre uma equação diferencial que admite as duas soluções e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer é encontrar uma equação diferencial que tenha como soluções as funções e . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, lembremos que se uma função da forma é solução de uma equação diferencial linear homogênea, então o valor de satisfaz a chamada equação característica dessa equação diferencial.

Passo 3

Vamos determinar a equação característica. Sabemos que as raízes dessa equação são exatamente os expoentes dos termos de . No nosso caso, temos duas soluções com e .
Assim, a equação característica será:
Ao expandir isso, fica:

Passo 4

Agora que temos a equação característica , podemos escrever a equação diferencial correspondente. A forma geral da equação diferencial para uma equação característica de segundo grau é:
Aplicando isso ao nosso caso:

Resposta

A equação diferencial que admite as duas soluções dadas é:

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  • Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Considere o problema de valor inicial
(b) Encontre tal que quando .
Sejam e funções diferenciáveis em um intervalo aberto . Mostre que, em geral, não é verdade que , para todo em .
Encontre a solução geral da equação diferencial.