Encontre a solução geral da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a solução geral da equação diferencial
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, a gente vai usar métodos de equações características.
Passo 2
Primeiro, montamos a equação característica associada. A gente substitui
por
,
por
e
por 1, ficando:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. A gente pode usar a fórmula de Bhaskara:
Onde, para a nossa equação:
Substituindo:
Passo 4
Como as raízes são complexas (
), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde:
-
-
-
e são constantes que determinamos com condições iniciais (não fornecidas aqui).
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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.
Encontre a solução do problema de valor inicial.
,
Considere o problema de valor inicial
(b) Encontre
tal que
quando
.