Encontre a solução do problema de valor inicial.
,

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos resolver essa equação passo a passo.

Passo 2

Começamos identificando que esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral é:
Neste caso, temos:

Passo 3

Para resolver, encontramos as raízes características da equação auxiliar associada. A equação característica é:

Passo 4

Calculamos o discriminante (Δ) da equação quadrática:

Passo 5

Analisamos o discriminante:
  • Se Δ > 0: duas raízes reais distintas.
  • Se Δ = 0: duas raízes reais iguais.
  • Se Δ < 0: raízes complexas conjugadas.
Vamos considerar o caso geral, onde Δ pode ser negativo, positivo ou zero dependendo do valor de .

Passo 6

Assumindo que (o que ocorre se ), temos raízes complexas:
onde:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial é então:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 8

Aplicamos as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
Então, .

Passo 9

Agora, derivamos para aplicar a segunda condição:
Avaliado em :
Substituindo :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Simplificando,

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