Encontre a solução do problema de valor inicial.
,
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um problema de valor inicial para uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais:
Vamos resolver essa equação passo a passo.
Passo 2
Começamos identificando que esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A forma geral é:
Neste caso, temos:
Passo 3
Para resolver, encontramos as raízes características da equação auxiliar associada. A equação característica é:
Passo 4
Calculamos o discriminante (Δ) da equação quadrática:
Passo 5
Analisamos o discriminante:
- Se Δ > 0: duas raízes reais distintas.
- Se Δ = 0: duas raízes reais iguais.
- Se Δ < 0: raízes complexas conjugadas.
Vamos considerar o caso geral, onde Δ pode ser negativo, positivo ou zero dependendo do valor de
.
Passo 6
Assumindo que
(o que ocorre se
), temos raízes complexas:
onde:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial é então:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 8
Aplicamos as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Então,
.
Passo 9
Agora, derivamos
para aplicar a segunda condição:
Avaliado em
:
Substituindo
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Simplificando,
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(b) Encontre
tal que
quando
.
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