• Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
    g y'' - 9 y' + 9 y = 0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial dada:

Estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. Para resolver isso, vamos utilizar a equação característica e encontrar suas raízes.

Passo 2

Primeiro, montamos a equação característica associada à equação diferencial. Isso é feito substituindo na equação original. Assim, temos:

Agora, precisamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r.

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Calculando o discriminante:
Portanto:

Encontramos duas raízes reais e distintas:

Passo 4

Com as raízes e encontradas, a solução geral da equação diferencial é dada por:

Onde e são constantes arbitrárias que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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