Encontre a solução do problema de valor inicial.
,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução dessa equação que também satisfaz as condições iniciais dadas: e .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é . No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
As raízes são iguais, ou seja, temos uma raiz dupla .

Passo 4

Quando a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes e .
Primeiro, aplicamos :
Então, .

Passo 6

Em seguida, vamos derivar para usar a condição :
Simplificando:
Agora, aplicamos :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral da equação diferencial.
,
  • Encontre o Wronskiano do par de funções dado.
Considere o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução do problema.
Encontre a solução do problema de valor inicial.
.