Encontre a solução do problema de valor inicial.
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução dessa equação que também satisfaz as condições iniciais dadas:
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma
, a equação característica é
. No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
As raízes são iguais, ou seja, temos uma raiz dupla
.
Passo 4
Quando a equação característica tem raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo
:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores das constantes
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Então,
.
Passo 6
Em seguida, vamos derivar
para usar a condição
:
Simplificando:
Agora, aplicamos
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral da equação diferencial.
,
- Encontre o Wronskiano do par de funções dado.
Considere o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução do problema.
Encontre a solução do problema de valor inicial.
.