Encontre a solução geral da equação diferencial.
,

Passo 1

Beleza, então a gente tem que encontrar a solução geral da equação diferencial . Pra resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar achar as raízes da equação característica associada a essa equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma , a equação característica é . No nosso caso, e , então a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Substituindo:

Passo 4

Como a raiz dentro da raiz quadrada ficou negativa ( ), isso significa que as raízes são complexas. Podemos escrever . Então, as raízes são:

Passo 5

Quando temos raízes complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, e . Então, substituindo:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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,
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,
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