Encontre a solução geral da equação diferencial.
,
Passo 1
Beleza, então a gente tem que encontrar a solução geral da equação diferencial
. Pra resolver isso, vamos usar métodos de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar achar as raízes da equação característica associada a essa equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica. Para uma equação diferencial da forma
, a equação característica é
. No nosso caso,
e
, então a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar as raízes
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Passo 4
Como a raiz dentro da raiz quadrada ficou negativa (
), isso significa que as raízes são complexas. Podemos escrever
. Então, as raízes são:
Passo 5
Quando temos raízes complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
. Então, substituindo:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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Encontre a solução do problema de valor inicial.
,
Encontre a solução do problema de valor inicial.
,
Considere o problema de valor inicial
(a) Encontre a solução do problema.