Considere o problema de valor inicial
em que
.
(a) Resolva o problema de valor inicial.
(b) Faça o gráfico da solução quando
. Encontre as coordenadas
do ponto de mínimo da solução neste caso.
© Encontre o menor valor de
para o qual a solução não tem ponto de mínimo.
(a) Resolva o problema de valor inicial.
(b) Faça o gráfico da solução quando
© Encontre o menor valor de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem:
Aqui,
também é mencionado, e precisamos resolver três partes:
a) Resolver o problema de valor inicial.
b) Fazer o gráfico da solução quando
e encontrar as coordenadas do ponto de mínimo.
c) Encontrar o menor valor de
para o qual a solução não tem ponto de mínimo.
Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para resolver isso. Precisaremos encontrar as raízes da equação característica, determinar a forma geral da solução e aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, começamos encontrando a equação característica associada:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores de
:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes distintas:
Passo 4
Com as raízes
e
, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação:
Passo 6
Agora, derivamos a solução geral para encontrar
:
Aplicamos a condição
:
Isso nos dá a segunda equação:
Passo 7
Resolvemos o sistema de equações (1) e (2) para achar
e
.
Da equação (1):
Substituímos na equação (2):
Simplificando:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar as frações:
Isolando
:
Então, substituindo na equação (1):
Passo 8
Agora que temos
e
, substituímos de volta na solução geral:
Essa é a solução do problema de valor inicial.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
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Qual a medida, em graus, do menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio,
b) às 4 h 30 ?
b) às 4 h 30 ?
Resolva o problema de valor inicial
. Depois encontre
de modo que a solução tenda a zero quando
.
(i)
Sem o auxílio de calculadora ou computador, determine:
a)
a)