Considere o problema de valor inicial
em que .
(a) Resolva o problema de valor inicial.
(b) Faça o gráfico da solução quando . Encontre as coordenadas do ponto de mínimo da solução neste caso.
© Encontre o menor valor de para o qual a solução não tem ponto de mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, também é mencionado, e precisamos resolver três partes:
a) Resolver o problema de valor inicial.
b) Fazer o gráfico da solução quando e encontrar as coordenadas do ponto de mínimo.
c) Encontrar o menor valor de para o qual a solução não tem ponto de mínimo.
Vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes para resolver isso. Precisaremos encontrar as raízes da equação característica, determinar a forma geral da solução e aplicar as condições iniciais para achar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, começamos encontrando a equação característica associada:

Passo 3

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os valores de :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e .
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas raízes distintas:

Passo 4

Com as raízes e , a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial na solução geral:
Isso nos dá a primeira equação:

Passo 6

Agora, derivamos a solução geral para encontrar :
Aplicamos a condição :
Isso nos dá a segunda equação:

Passo 7

Resolvemos o sistema de equações (1) e (2) para achar e .
Da equação (1):
Substituímos na equação (2):
Simplificando:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar as frações:
Isolando :
Então, substituindo na equação (1):

Passo 8

Agora que temos e , substituímos de volta na solução geral:
Essa é a solução do problema de valor inicial.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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Qual a medida, em graus, do menor ângulo formado pelos ponteiros das horas e dos minutos de um relógio,
b) às 4 h 30 ?
Resolva o problema de valor inicial . Depois encontre de modo que a solução tenda a zero quando .
(i)
Sem o auxílio de calculadora ou computador, determine:
a)