Resolva o problema de valor inicial
. Depois encontre
de modo que a solução tenda a zero quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um problema de equação diferencial do tipo de valor inicial. A equação que temos é
com as condições iniciais
e
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz com que a solução dessa equação tenda a zero quando
vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os métodos para resolver equações diferenciais lineares homogêneas e aplicar as condições iniciais adequadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para ficar mais fácil de trabalhar:
Podemos dividir todos os termos por 4 para simplificar:
Agora, temos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica associada. A equação característica é obtida substituindo
por
e
por 1:
Resolvendo para
:
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui,
e
são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a primeira condição inicial
:
Portanto, temos:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada da solução geral para aplicar a segunda condição inicial:
Aplicando
:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 7
Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos somar as duas equações para resolver
:
Subtraindo a segunda equação da primeira para encontrar
:
Passo 8
Agora, substituímos
e
na solução geral:
Passo 9
Queremos que a solução tenda a zero quando
. Observando a solução:
- O termo
cresce exponencialmente. - O termo
tende a zero.
Para que
quando
, o coeficiente de
deve ser zero, pois caso contrário, a solução vai crescer sem limites.
Portanto:
Resposta
O valor de
que faz com que a solução tenda a zero quando
é
.