Resolva o problema de valor inicial 4 y'' - y = 0, y(0) = 2, y'(0) = beta. Depois encontre beta de modo que a solução tenda a zero quando t -> infinito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um problema de equação diferencial do tipo de valor inicial. A equação que temos é com as condições iniciais e . Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que a solução dessa equação tenda a zero quando vai para o infinito. Para resolver isso, vamos precisar conhecer os métodos para resolver equações diferenciais lineares homogêneas e aplicar as condições iniciais adequadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para ficar mais fácil de trabalhar:
Podemos dividir todos os termos por 4 para simplificar:
Agora, temos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos encontrar as raízes da equação característica associada. A equação característica é obtida substituindo por e por 1:
Resolvendo para :

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
Aqui, e são constantes que determinaremos usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a primeira condição inicial :
Portanto, temos:
çã

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada da solução geral para aplicar a segunda condição inicial:
Aplicando :
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
çã

Passo 7

Agora temos um sistema de duas equações:
Vamos somar as duas equações para resolver :
Subtraindo a segunda equação da primeira para encontrar :

Passo 8

Agora, substituímos e na solução geral:

Passo 9

Queremos que a solução tenda a zero quando . Observando a solução:
  • O termo cresce exponencialmente.
  • O termo tende a zero.
Para que quando , o coeficiente de deve ser zero, pois caso contrário, a solução vai crescer sem limites.
Portanto:

Resposta

O valor de que faz com que a solução tenda a zero quando é .

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