Considere o problema de valor inicial
. (a) Resolva o problema de valor inicial e faça o gráfico da solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial onde precisamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
e
. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções gerais da equação homogênea e aplicar as condições iniciais para achar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial. A equação diferencial é
, então a equação característica é:
Passo 3
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando o discriminante:
Passo 4
Como o discriminante
, temos duas raízes reais e iguais:
Passo 5
Com raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 6
Aplicando a condição inicial
:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial
. Primeiro, calculamos a derivada de
:
Simplificando em
:
Passo 8
Agora que temos
e
, a solução particular do problema de valor inicial é:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
O gráfico dessa função mostra uma curva que começa em
quando
, aumenta inicialmente devido ao termo linear, e depois decai exponencialmente conforme
aumenta.
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PROBLEMAS Em cada um dos Problemas de 1 a 10, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
- Seja
, derivável até a 2.a ordem e tal que, para todo . Seja dada por sen . Prove que é constante.
Considere o problema de valor inicial
. (b) Determine as coordenadas
do ponto de máximo.
Mude de coordenadas retangulares para esféricas.