Considere o problema de valor inicial . (a) Resolva o problema de valor inicial e faça o gráfico da solução.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial onde precisamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais e . Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções gerais da equação homogênea e aplicar as condições iniciais para achar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial. A equação diferencial é , então a equação característica é:

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando o discriminante:

Passo 4

Como o discriminante , temos duas raízes reais e iguais:

Passo 5

Com raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 6

Aplicando a condição inicial :

Passo 7

Agora, vamos aplicar a segunda condição inicial . Primeiro, calculamos a derivada de :
Simplificando em :

Passo 8

Agora que temos e , a solução particular do problema de valor inicial é:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
O gráfico dessa função mostra uma curva que começa em quando , aumenta inicialmente devido ao termo linear, e depois decai exponencialmente conforme aumenta.

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PROBLEMAS Em cada um dos Problemas de 1 a 10, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
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Considere o problema de valor inicial . (b) Determine as coordenadas do ponto de máximo.
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