- Seja
, derivável até a 2.a ordem e tal que, para todo
. Seja
dada por
sen
. Prove que
é constante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função
que é diferenciável até a segunda ordem e satisfaz a equação
para todo
. Além disso, temos outra função
e precisamos provar que
é constante. Vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação diferencial dada:
. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, podemos reorganizar a equação para
.
Passo 3
A solução geral dessa equação diferencial é
, onde
é uma constante real. Isso acontece porque a derivada de
é
, satisfazendo a equação original.
Passo 4
Agora, vamos substituir
na expressão de
:
Podemos fatorar
:
Passo 5
Para mostrar que
é constante, precisamos provar que a derivada de
em relação a
é zero, ou seja,
.
Passo 6
Vamos calcular
:
Aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Observamos que os termos
e
se cancelam, assim como
e
somam:
Passo 8
Como
para todo
, isso significa que
não varia com
, ou seja,
é uma função constante.
Resposta
Portanto,
é constante.