1. Seja , derivável até a 2.a ordem e tal que, para todo . Seja dada por sen . Prove que é constante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma função que é diferenciável até a segunda ordem e satisfaz a equação para todo . Além disso, temos outra função e precisamos provar que é constante. Vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação diferencial dada: . Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, podemos reorganizar a equação para .

Passo 3

A solução geral dessa equação diferencial é , onde é uma constante real. Isso acontece porque a derivada de é , satisfazendo a equação original.

Passo 4

Agora, vamos substituir na expressão de :
Podemos fatorar :

Passo 5

Para mostrar que é constante, precisamos provar que a derivada de em relação a é zero, ou seja, .

Passo 6

Vamos calcular :
Aplicando a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:

Passo 7

Simplificando a expressão:
Observamos que os termos e se cancelam, assim como e somam:

Passo 8

Como para todo , isso significa que não varia com , ou seja, é uma função constante.

Resposta

Portanto, é constante.

Exercícios relacionados

  1. Utilizando o Exercício 1, determine a única função , que satisfaça as condições dadas.
    b) e
  1. Utilizando o Exercício 1, determine a única função , que satisfaça as condições dadas.
    a) e
PROBLEMAS Em cada um dos Problemas de 1 a 10, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Considere o problema de valor inicial . (a) Resolva o problema de valor inicial e faça o gráfico da solução.