PROBLEMAS Em cada um dos Problemas de 1 a 10, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma
, a equação característica é
.
No nosso caso,
,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar as raízes
. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Passo 4
Calculando o discriminante (
):
Como o discriminante é zero, temos duas raízes reais e iguais.
Passo 5
Com
, a raiz dupla é:
Passo 6
Quando temos raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
- Seja
, derivável até a 2.a ordem e tal que, para todo . Seja dada por sen . Prove que é constante.
- Utilizando o Exercício 1, determine a única função
, que satisfaça as condições dadas.
b)e
Considere o problema de valor inicial
. (a) Resolva o problema de valor inicial e faça o gráfico da solução.
Considere o problema de valor inicial
. (b) Determine as coordenadas
do ponto de máximo.