PROBLEMAS Em cada um dos Problemas de 1 a 10, encontre a solução geral da equação diferencial dada. 16 y'' + 24 y' + 9 y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é .
No nosso caso, , e . Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática para encontrar as raízes . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:

Passo 4

Calculando o discriminante ( ):
Como o discriminante é zero, temos duas raízes reais e iguais.

Passo 5

Com , a raiz dupla é:

Passo 6

Quando temos raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
Substituindo :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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