Considere o problema de valor inicial
. (b) Determine as coordenadas
do ponto de máximo.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais
e
. O conteúdo envolve resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar o ponto de máximo da solução. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação, aplicar as condições iniciais para determinar as constantes e, finalmente, calcular o ponto de máximo da função
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica para a equação
é:
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
, e
:
Como a equação possui raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeira condição:
:
Segunda condição:
.
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Simplificando:
Aplicando
:
Substituindo
:
Passo 5
Agora que temos os valores de
e
, a solução particular da equação diferencial é:
Passo 6
Para encontrar o ponto de máximo, precisamos encontrar o valor de
onde a derivada
é igual a zero.
Primeiro, calculamos
:
Simplificando:
Igualando a zero:
Passo 7
Substituímos
na expressão de
para encontrar
:
Resposta
As coordenadas do ponto de máximo são:
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Considere o problema de valor inicial
. (a) Resolva o problema de valor inicial e faça o gráfico da solução.
PROBLEMAS Em cada um dos Problemas de 1 a 10, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Mude de coordenadas retangulares para esféricas.
Mude de coordenadas retangulares para esféricas.