Considere o problema de valor inicial . (b) Determine as coordenadas do ponto de máximo.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de segunda ordem:
com as condições iniciais e . O conteúdo envolve resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes e encontrar o ponto de máximo da solução. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação, aplicar as condições iniciais para determinar as constantes e, finalmente, calcular o ponto de máximo da função .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação característica associada à equação diferencial. A equação característica para a equação é:

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
onde , , e :
Como a equação possui raízes reais e iguais, a solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeira condição: :
Segunda condição: .
Primeiro, encontramos a derivada de :
Simplificando:
Aplicando :
Substituindo :

Passo 5

Agora que temos os valores de e , a solução particular da equação diferencial é:

Passo 6

Para encontrar o ponto de máximo, precisamos encontrar o valor de onde a derivada é igual a zero.
Primeiro, calculamos :
Simplificando:
Igualando a zero:

Passo 7

Substituímos na expressão de para encontrar :

Resposta

As coordenadas do ponto de máximo são:

Exercícios relacionados

Considere o problema de valor inicial . (a) Resolva o problema de valor inicial e faça o gráfico da solução.
PROBLEMAS Em cada um dos Problemas de 1 a 10, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Mude de coordenadas retangulares para esféricas.
Mude de coordenadas retangulares para esféricas.