Considere o problema de valor inicial
Encontre as coordenadas do primeiro ponto de máximo local da solução para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. O objetivo é encontrar as coordenadas do primeiro ponto de máximo local da solução para
. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e um pouco de cálculo para identificar os pontos máximos.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A forma geral dessa equação é:
onde
e
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
Vamos resolver a integral
usando a técnica de integração por partes.
Passo 6
Após integrar, obtemos:
Portanto:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por
para isolar
:
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
.
Passo 8
Substituindo
na solução geral:
Então, a solução particular é:
Passo 9
Agora, para encontrar os pontos máximos locais, precisamos calcular a derivada de
e encontrar onde ela é zero:
Igualando a zero:
Essa equação transcendental não tem uma solução analítica simples, então vamos resolver numericamente.
Passo 10
Usando métodos numéricos ou uma calculadora, encontramos que a primeira solução para
ocorre aproximadamente em
radianos.
Passo 11
Agora, substituímos esse valor de
na solução
para encontrar a coordenada
:
Calculando isso, obtemos aproximadamente
.
Resposta
As coordenadas do primeiro ponto de máximo local da solução para
são aproximadamente
.