Considere o problema de valor inicial
y' + 1 y = 2 cos(t), y(0) = -1
Encontre as coordenadas do primeiro ponto de máximo local da solução para t > 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial. O objetivo é encontrar as coordenadas do primeiro ponto de máximo local da solução para . Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais lineares e um pouco de cálculo para identificar os pontos máximos.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A forma geral dessa equação é:
onde e .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos usar o método do fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
Vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes.

Passo 6

Após integrar, obtemos:
Portanto:

Passo 7

Dividindo ambos os lados por para isolar :
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar .

Passo 8

Substituindo na solução geral:
Então, a solução particular é:

Passo 9

Agora, para encontrar os pontos máximos locais, precisamos calcular a derivada de e encontrar onde ela é zero:
Igualando a zero:
Essa equação transcendental não tem uma solução analítica simples, então vamos resolver numericamente.

Passo 10

Usando métodos numéricos ou uma calculadora, encontramos que a primeira solução para ocorre aproximadamente em radianos.

Passo 11

Agora, substituímos esse valor de na solução para encontrar a coordenada :
Calculando isso, obtemos aproximadamente .

Resposta

As coordenadas do primeiro ponto de máximo local da solução para são aproximadamente .

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