Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(h)

Passo 1

Então, temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de primeira ordem. A equação é com a condição inicial e . Vamos precisar resolver essa equação para encontrar , esboçar o gráfico da solução e determinar o intervalo onde a solução é válida.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação numa forma mais fácil de resolver. Dividindo ambos os lados por , temos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
onde e .

Passo 3

Para resolver equações diferenciais lineares, usamos um fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial para encontrar :
Sabemos que e , então:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de :
Simplificando:

Passo 9

Para esboçar o gráfico, podemos observar o comportamento da solução:
  • Conforme aumenta, os termos e tendem a zero.
  • O termo constante também tende a zero.
  • Portanto, a solução se aproxima de zero conforme cresce.

Passo 10

Finalmente, determinamos o intervalo onde a solução está definida. Como a equação original tinha e não há pontos de descontinuidade na solução para , o intervalo é .

Resposta

A solução do problema é:
O gráfico dessa solução se aproxima de zero conforme aumenta, e a solução está definida para todo .

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