Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(h)
(h)
Passo 1
Então, temos um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial de primeira ordem. A equação é
com a condição inicial
e
. Vamos precisar resolver essa equação para encontrar
, esboçar o gráfico da solução e determinar o intervalo onde a solução é válida.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação numa forma mais fácil de resolver. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma geral:
onde
e
.
Passo 3
Para resolver equações diferenciais lineares, usamos um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Sabemos que
e
, então:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Substituindo
de volta na expressão de
:
Simplificando:
Passo 9
Para esboçar o gráfico, podemos observar o comportamento da solução:
- Conforme
aumenta, os termos e tendem a zero. - O termo constante
também tende a zero. - Portanto, a solução se aproxima de zero conforme
cresce.
Passo 10
Finalmente, determinamos o intervalo onde a solução está definida. Como a equação original tinha
e não há pontos de descontinuidade na solução para
, o intervalo é
.
Resposta
A solução do problema é:
O gráfico dessa solução se aproxima de zero conforme
aumenta, e a solução está definida para todo
.
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(b)
(b)
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24.
24.
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a) , em 2
a)