Encontre a derivada da função no ponto determinado.
a) , em 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada da função no ponto . Estamos lidando com derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada que você já viu:

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a derivada representa. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função nesse ponto. Ou seja, ela nos diz quão rápido a função está aumentando ou diminuindo naquele ponto.

Passo 3

Vamos aplicar a definição de derivada à função . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Agora, calculamos :
Expandindo o quadrado:

Passo 5

Subtraindo de :

Passo 6

Dividindo tudo por :

Passo 7

Agora, tiramos o limite quando tende a 0:

Passo 8

Encontramos que a derivada de é . Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto :

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(h)
Encontre a derivada das funções:
b)
Encontre a derivada das funções:
e)