f^prime(x)=lim h 0 f(x+h)-f(x)h
Encontre a derivada da função no ponto determinado.
a) f(x)=1-3 x^2, em 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada da função f^prime(x)=lim h 0 f(x+h)-f(x)h no ponto . Estamos lidando com derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada que você já viu:

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a derivada representa. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função nesse ponto. Ou seja, ela nos diz quão rápido a função está aumentando ou diminuindo naquele ponto.

Passo 3

Vamos aplicar a definição de derivada à função f^prime(x) = limh 0 f(x+h) - f(x)h . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Agora, calculamos f(x+h) = 1 - 3(x+h)^2 :
f(x+h) = 1 - 3(x^2 + 2xh + h^2) = 1 - 3x^2 - 6xh - 3h^2
Expandindo o quadrado:

Passo 5

Subtraindo f(x+h) - f(x) = [1 - 3x^2 - 6xh - 3h^2] - [1 - 3x^2] = -6xh - 3h^2 de :

Passo 6

Dividindo tudo por f(x+h) - f(x)h = -6xh - 3h^2h = -6x - 3h :

Passo 7

Agora, tiramos o limite quando f^prime(x) = limh 0 (-6x - 3h) = -6x tende a 0:

Passo 8

Encontramos que a derivada de f^prime(2) = -6 times 2 = -12 é . Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto :

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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