Encontre a derivada da função no ponto determinado.
a)
, em 2
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a derivada da função
no ponto
. Estamos lidando com derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada que você já viu:
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a derivada representa. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente à curva da função nesse ponto. Ou seja, ela nos diz quão rápido a função está aumentando ou diminuindo naquele ponto.
Passo 3
Vamos aplicar a definição de derivada à função
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Agora, calculamos
:
Expandindo o quadrado:
Passo 5
Subtraindo
de
:
Passo 6
Dividindo tudo por
:
Passo 7
Agora, tiramos o limite quando
tende a 0:
Passo 8
Encontramos que a derivada de
é
. Agora, vamos avaliar essa derivada no ponto
:
Resposta
A derivada da função
no ponto
é
.
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Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(h)
(h)
Encontre a derivada das funções:
b)
b)
Encontre a derivada das funções:
e)
e)