Considere o problema de valor inicial
Encontre o valor de para o qual a solução se aproxima muito do eixo mas não o atravessa.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial:
O conteúdo que vamos usar aqui é o das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação e depois aplicar a condição inicial para descobrir o valor de que faz com que a solução se aproxime do eixo sem cruzá-lo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. Ela tem a forma padrão:
Onde e .
Para resolver, usamos o método do fator integrante. O fator integrante é dado por:

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Vamos separar a integral:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos a integração por partes, onde:
Então:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
Simplificando:
Juntando os termos:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial :
Então, . Substituindo de volta na solução:

Passo 8

Queremos que a solução se aproxime do eixo (ou seja, tende a 0) conforme cresce, mas sem cruzar esse eixo.
Observando a solução:
À medida que vai para o infinito, tende a 0, então:
Para que tenda a 0, precisamos que o termo constante e o coeficiente de se anulem. Mas ao observar, vemos que tende a se cresce, o que não satisfaz nossa condição.
Para que se aproxime de 0, precisamos ajustar de forma que a solução equilibrada tenha esse comportamento.
Analisando novamente, se configurarmos o termo constante para cancelar o impacto do , podemos ajustar .

Passo 9

Para que se aproxime de 0 quando tende ao infinito, o termo constante deve compensar o crescimento linear.
Na solução:
Queremos que:
Mas isso nunca acontece para positivo. Então, na verdade, não há um valor de que faça tender a 0. Parece que houve um mal-entendido na interpretação.

Passo 10

Reavaliando, percebemos que para a solução se aproximar do eixo sem cruzá-lo, precisamos que a solução tenda a uma função linear sem interceptação adicional. Portanto, ajustando para que o termo exponencial não interfira no comportamento assintótico.
Se , temos:
Assim, a solução é simplesmente , que é uma reta que desce sem jamais cruzar o eixo para .

Resposta

O valor de que faz com que a solução se aproxime do eixo sem o atravessar é .

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