Considere o problema de valor inicial
Encontre o valor de
para o qual a solução se aproxima muito do eixo
mas não o atravessa.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem com uma condição inicial:
O conteúdo que vamos usar aqui é o das equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a solução geral dessa equação e depois aplicar a condição inicial para descobrir o valor de
que faz com que a solução se aproxime do eixo
sem cruzá-lo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. Ela tem a forma padrão:
Onde
e
.
Para resolver, usamos o método do fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 3
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Vamos separar a integral:
A primeira integral é simples:
Para a segunda integral, usamos a integração por partes, onde:
Então:
Passo 6
Voltando à nossa expressão original:
Simplificando:
Juntando os termos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
:
Então,
. Substituindo de volta na solução:
Passo 8
Queremos que a solução se aproxime do eixo
(ou seja,
tende a 0) conforme
cresce, mas sem cruzar esse eixo.
Observando a solução:
À medida que
vai para o infinito,
tende a 0, então:
Para que
tenda a 0, precisamos que o termo constante e o coeficiente de
se anulem. Mas ao observar, vemos que
tende a
se
cresce, o que não satisfaz nossa condição.
Para que
se aproxime de 0, precisamos ajustar
de forma que a solução equilibrada tenha esse comportamento.
Analisando novamente, se configurarmos o termo constante para cancelar o impacto do
, podemos ajustar
.
Passo 9
Para que
se aproxime de 0 quando
tende ao infinito, o termo constante deve compensar o crescimento linear.
Na solução:
Queremos que:
Mas isso nunca acontece para
positivo. Então, na verdade, não há um valor de
que faça
tender a 0. Parece que houve um mal-entendido na interpretação.
Passo 10
Reavaliando, percebemos que para a solução se aproximar do eixo
sem cruzá-lo, precisamos que a solução tenda a uma função linear sem interceptação adicional. Portanto, ajustando
para que o termo exponencial não interfira no comportamento assintótico.
Se
, temos:
Assim, a solução é simplesmente
, que é uma reta que desce sem jamais cruzar o eixo
para
.
Resposta
O valor de
que faz com que a solução se aproxime do eixo
sem o atravessar é
.
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, onde
e
.
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