f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h
b) Considerando a letra a), encontre as equações das retas tangentes nos pontos (1,5) e (2,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para encontrar as equações das retas tangentes nos pontos e de uma função . Isso está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente envolvendo derivadas e retas tangentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada da função em um ponto específico e, com essa derivada, determinar a equação da reta tangente naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma função em um ponto é a reta que “encosta” na curva naquele ponto e tem a mesma inclinação que a curva nesse ponto. A inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função nesse ponto.

Passo 3

Para encontrar a equação da reta tangente, usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
y - y0 = m(x - x0)
Onde:
  • é o ponto onde queremos a tangente.
  • é a inclinação da reta, que é igual à derivada .

Passo 4

Vamos aplicar isso para o primeiro ponto y - 5 = f'(1)(x - 1) :
  1. Identificamos e .
  2. Precisamos encontrar , que é a derivada da função em .
Assumindo que já conhecemos a partir da parte a) da questão, substituímos na fórmula.
Então, a equação da reta tangente no ponto fica:

Passo 5

Agora, vamos para o segundo ponto y - 3 = f'(2)(x - 2) :
  1. Identificamos e .
  2. Precisamos encontrar , que é a derivada da função em .
Novamente, assumindo que já temos da parte a) da questão, substituímos na fórmula.
Então, a equação da reta tangente no ponto fica:

Resposta

As equações das retas tangentes são:
y - 5 = f'(1)(x - 1)
e
y - 3 = f'(2)(x - 2)

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