Considere o problema de valor inicial
. Expresse a solução do PVI para
como uma integral não elementar quando
. Qual é a solução quando
? E quando
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial (PVI) que é uma equação diferencial do tipo primeira ordem. A equação é
com a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que é a equação que temos. É uma equação linear do tipo
, onde
e
. O método do fator integrante envolve multiplicar toda a equação por uma função que simplifica a resolução.
Passo 3
Vamos calcular o fator integrante
. Ele é dado por
. Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para a forma:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados para encontrar
:
Onde
é a constante de integração. Então, isolamos
:
Passo 6
Vamos aplicar a condição inicial
para encontrar
:
Passo 7
Então, a solução geral do PVI é:
Para
, essa integral não é elementar quando
.
Passo 8
Agora, vamos ver os casos específicos:
- Quando
:
A equação fica
. A solução geral é a solução da equação homogênea:
Aplicando
:
Então,
- Quando
:
Substituímos
na solução geral:
A integral
simplifica para
, então:
Resposta
A solução do PVI é
para
. Quando
, a solução é
. E quando
, a solução é
.
Exercícios relacionados
Encontre o conjunto indicado se
:
Escreva as sentenças na forma de uma desigualdade:
é positivo e menor do que 17
Releia o Exemplo 3 e discuta, com base no Teorema 1.2.1, a existência e unicidade de uma solução do problema de valor inicial que consiste em
e na condição inicial dada.
Reescreva os intervalos a seguir na forma de desigualdades: