Considere o problema de valor inicial . Expresse a solução do PVI para como uma integral não elementar quando . Qual é a solução quando ? E quando ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de valor inicial (PVI) que é uma equação diferencial do tipo primeira ordem. A equação é com a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que é a equação que temos. É uma equação linear do tipo , onde e . O método do fator integrante envolve multiplicar toda a equação por uma função que simplifica a resolução.

Passo 3

Vamos calcular o fator integrante . Ele é dado por . Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica a equação para a forma:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados para encontrar :
Onde é a constante de integração. Então, isolamos :

Passo 6

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar :

Passo 7

Então, a solução geral do PVI é:
Para , essa integral não é elementar quando .

Passo 8

Agora, vamos ver os casos específicos:
  1. Quando :
A equação fica . A solução geral é a solução da equação homogênea:
Aplicando :
Então,
  1. Quando :
Substituímos na solução geral:
A integral simplifica para , então:

Resposta

A solução do PVI é para . Quando , a solução é . E quando , a solução é .

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