Releia o Exemplo 3 e discuta, com base no Teorema 1.2.1, a existência e unicidade de uma solução do problema de valor inicial que consiste em
e na condição inicial dada.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo
com uma condição inicial
, onde
e
. O conteúdo envolvido aqui é a teoria das equações diferenciais de primeira ordem, especificamente sobre a existência e unicidade de soluções para problemas de valor inicial. Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema 1.2.1, que provavelmente se refere ao Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf. Precisamos verificar se as condições desse teorema são satisfeitas para garantir que existe uma única solução para a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação diferencial para a forma padrão
. A equação dada é
. Vamos isolando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, temos a equação na forma padrão:
Passo 3
O Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf nos diz que, se a função
e sua derivada parcial em relação a
,
, são contínuas em um certo retângulo ao redor do ponto inicial
, então existe uma única solução para o problema de valor inicial nessa região.
Vamos verificar a continuidade de
e
.
Primeiro,
. Para
, a função
é contínua, assim como
e
. Portanto,
é contínua para
.
Agora, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Essa derivada também é contínua para
.
Passo 4
Como
e
são contínuas no intervalo considerado (já que
), as condições do Teorema de Picard-Lindelöf são satisfeitas. Portanto, podemos concluir que existe uma única solução para a equação diferencial dada com a condição inicial fornecida.
Resposta
Com base no Teorema 1.2.1, existe uma única solução para o problema de valor inicial
da equação diferencial
, desde que
e
.
Exercícios relacionados
Considere o problema de valor inicial
. Expresse a solução do PVI para
como uma integral não elementar quando
. Qual é a solução quando
? E quando
?
Encontre o conjunto indicado se
:
Reescreva os intervalos a seguir na forma de desigualdades:
Expresse a solução do problema de valor inicial
termos de
.