Releia o Exemplo 3 e discuta, com base no Teorema 1.2.1, a existência e unicidade de uma solução do problema de valor inicial que consiste em e na condição inicial dada.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial do tipo com uma condição inicial , onde e . O conteúdo envolvido aqui é a teoria das equações diferenciais de primeira ordem, especificamente sobre a existência e unicidade de soluções para problemas de valor inicial. Para resolver isso, vamos utilizar o Teorema 1.2.1, que provavelmente se refere ao Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf. Precisamos verificar se as condições desse teorema são satisfeitas para garantir que existe uma única solução para a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação diferencial para a forma padrão . A equação dada é . Vamos isolando :
Dividindo ambos os lados por :
Agora, temos a equação na forma padrão:

Passo 3

O Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf nos diz que, se a função e sua derivada parcial em relação a , , são contínuas em um certo retângulo ao redor do ponto inicial , então existe uma única solução para o problema de valor inicial nessa região.
Vamos verificar a continuidade de e .
Primeiro, . Para , a função é contínua, assim como e . Portanto, é contínua para .
Agora, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Essa derivada também é contínua para .

Passo 4

Como e são contínuas no intervalo considerado (já que ), as condições do Teorema de Picard-Lindelöf são satisfeitas. Portanto, podemos concluir que existe uma única solução para a equação diferencial dada com a condição inicial fornecida.

Resposta

Com base no Teorema 1.2.1, existe uma única solução para o problema de valor inicial da equação diferencial , desde que e .

Exercícios relacionados

Considere o problema de valor inicial . Expresse a solução do PVI para como uma integral não elementar quando . Qual é a solução quando ? E quando ?
Encontre o conjunto indicado se :
Reescreva os intervalos a seguir na forma de desigualdades:
Expresse a solução do problema de valor inicial termos de .