Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento , que obedece à equação . Considere que a posição inicial da corda é dada por e que a velocidade inicial da corda em cada ponto é dada por . Encontre o deslocamento vertical dessa corda no ponto e no instante de tempo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um problema de vibração de uma corda elástica que está fixa nas duas extremidades, com comprimento . A corda segue a equação diferencial . Além disso, temos condições iniciais: a posição inicial da corda é e a velocidade inicial é . Nosso objetivo é encontrar o deslocamento vertical da corda em qualquer ponto e em qualquer instante de tempo .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que essa é uma equação de vibração, que é um tipo de equação diferencial parcial. A equação dada relaciona a segunda derivada espacial de com a primeira derivada temporal de . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função apenas de e uma função apenas de , ou seja, .

Passo 3

Substituindo na equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações:

Passo 4

Vamos resolver a equação para :
Como a corda está fixada nas duas extremidades e , temos as condições de contorno:
A solução não trivial dessa equação diferencial ocorre quando , onde é um número inteiro positivo. Então, .

Passo 5

Agora, resolvemos a equação para :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução geral é:
onde é uma constante que será determinada pelas condições iniciais.

Passo 6

Portanto, a solução geral para é uma soma das soluções separadas para cada :
onde .

Passo 7

Aplicando as condições iniciais para determinar os coeficientes e :
  1. Condição de posição inicial:
    Substituindo na solução geral:
    Isso implica que e para .
  2. Condição de velocidade inicial:
    Derivando em relação ao tempo e substituindo :
    Aqui, , então para igualar os termos:
    E para .

Resposta

Juntando tudo, a solução para o deslocamento vertical da corda é:

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