Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento , que obedece à equação . Considere que a posição inicial da corda é dada por e que a velocidade inicial da corda em cada ponto é dada por . Encontre o deslocamento vertical dessa corda no ponto e no instante de tempo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um problema de vibração de uma corda elástica que está fixa nas duas extremidades, com comprimento . A corda segue a equação diferencial . Além disso, temos condições iniciais: a posição inicial da corda é e a velocidade inicial é . Nosso objetivo é encontrar o deslocamento vertical da corda em qualquer ponto e em qualquer instante de tempo .
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que essa é uma equação de vibração, que é um tipo de equação diferencial parcial. A equação dada relaciona a segunda derivada espacial de com a primeira derivada temporal de . Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função apenas de e uma função apenas de , ou seja, .
Passo 3
Substituindo na equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações:
Passo 4
Vamos resolver a equação para :
Como a corda está fixada nas duas extremidades e , temos as condições de contorno:
A solução não trivial dessa equação diferencial ocorre quando , onde é um número inteiro positivo. Então, .
Passo 5
Agora, resolvemos a equação para :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução geral é:
onde é uma constante que será determinada pelas condições iniciais.
Passo 6
Portanto, a solução geral para é uma soma das soluções separadas para cada :
onde .
Passo 7
Aplicando as condições iniciais para determinar os coeficientes e :
Condição de posição inicial:
Substituindo na solução geral:
Isso implica que e para .
Condição de velocidade inicial:
Derivando em relação ao tempo e substituindo :
Aqui, , então para igualar os termos:
E para .
Resposta
Juntando tudo, a solução para o deslocamento vertical da corda é: