Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento
, que obedece à equação
. Considere que a posição inicial da corda é dada por
e que a velocidade inicial da corda em cada ponto é dada por
. Encontre o deslocamento vertical dessa corda no ponto
e no instante de tempo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta um problema de vibração de uma corda elástica que está fixa nas duas extremidades, com comprimento
. A corda segue a equação diferencial
. Além disso, temos condições iniciais: a posição inicial da corda é
e a velocidade inicial é
. Nosso objetivo é encontrar o deslocamento vertical
da corda em qualquer ponto
e em qualquer instante de tempo
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que essa é uma equação de vibração, que é um tipo de equação diferencial parcial. A equação dada
relaciona a segunda derivada espacial de
com a primeira derivada temporal de
. Para resolver isso, vamos usar o método de separação de variáveis, assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função apenas de
e uma função apenas de
, ou seja,
.
Passo 3
Substituindo
na equação diferencial:
Dividindo ambos os lados por
:
Aqui,
é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações:
Passo 4
Vamos resolver a equação para
:
Como a corda está fixada nas duas extremidades
e
, temos as condições de contorno:
A solução não trivial dessa equação diferencial ocorre quando
, onde
é um número inteiro positivo. Então,
.
Passo 5
Agora, resolvemos a equação para
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem cuja solução geral é:
onde
é uma constante que será determinada pelas condições iniciais.
Passo 6
Portanto, a solução geral para
é uma soma das soluções separadas para cada
:
onde
.
Passo 7
Aplicando as condições iniciais para determinar os coeficientes
e
:
-
Condição de posição inicial:Substituindo
na solução geral: Isso implica quee para . -
Condição de velocidade inicial:Derivando
em relação ao tempo e substituindo : Aqui,, então para igualar os termos: Epara .
Resposta
Juntando tudo, a solução para o deslocamento vertical da corda é: