Verifique que as funções abaixo são soluções das equações especificadas:
, equação da onda

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos verificar se ela é uma solução da equação da onda. Para isso, vamos precisar entender como funciona a equação da onda e calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação da onda. Ela é dada por:
Onde é a velocidade da onda. Nosso objetivo é substituir nessa equação e verificar se a igualdade se mantém.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Começamos com a derivada de em relação a :
E a segunda derivada em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas parciais de em relação a :
E a segunda derivada em relação a :

Passo 5

Substituímos essas derivadas na equação da onda:
Simplificando, temos:
Isso mostra que a igualdade é satisfeita quando .

Resposta

Sim, a função é solução da equação da onda quando a velocidade é igual a .

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b. ? (Dica: Use o fato que ).
Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento , que obedece à equação . Considere que a posição inicial da corda é dada por e que a velocidade inicial da corda em cada ponto é dada por . Encontre o deslocamento vertical dessa corda no ponto e no instante de tempo .
Verifique que as funções abaixo são soluções das equações especificadas:
, equação da onda