Verifique que as funções abaixo são soluções das equações especificadas:
, equação da onda
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a função é uma solução da equação da onda. Para isso, precisamos entender um pouquinho sobre derivadas parciais e como elas se aplicam na equação da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da onda. Em uma dimensão, ela é dada por:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação ao tempo
,
é a segunda derivada de
em relação ao espaço
, e
é a velocidade da onda.
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas para a função .
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
E a segunda derivada:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para as derivadas em relação a
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Agora que temos e , vamos substituir na equação da onda:
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por (desde que não seja zero):
Passo 6
Resolvendo para
:
Então,
Resposta
Sim, a função é solução da equação da onda com velocidade
.