Verifique que as funções abaixo são soluções das equações especificadas:
, equação da onda

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa verificar se a função é uma solução da equação da onda. Para isso, precisamos entender um pouquinho sobre derivadas parciais e como elas se aplicam na equação da onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação da onda. Em uma dimensão, ela é dada por:
Aqui, é a segunda derivada de em relação ao tempo , é a segunda derivada de em relação ao espaço , e é a velocidade da onda.

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas para a função .
Primeiro, a derivada de em relação a :
E a segunda derivada:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para as derivadas em relação a :
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 5

Agora que temos e , vamos substituir na equação da onda:
Podemos simplificar ambos os lados dividindo por (desde que não seja zero):

Passo 6

Resolvendo para :
Então,

Resposta

Sim, a função é solução da equação da onda com velocidade .

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Considere o problema de vibração de uma corda elástica fixa nas duas extremidades, com comprimento , que obedece à equação . Considere que a posição inicial da corda é dada por e que a velocidade inicial da corda em cada ponto é dada por . Encontre o deslocamento vertical dessa corda no ponto e no instante de tempo .
Verifique que as funções abaixo são soluções das equações especificadas:
, equação da onda
Resolva os problemas do calor abaixo:
Verifique que as funções abaixo são soluções das equações especificadas:
, equação do calor