Considere que para um processo adiabático em um gás temos seguinte relação entre pressão p e volume V: p V^gamma=C, onde C é constante e gamma é a constante adiabática.
Considere um volume V de um gás com massa M e densidade rho= M / V.
(a) Mostre que para um processo adiabático (não existe troca de calor), podemos escrever a relação entre pressão e densidade como p=b rho^gamma. Encontre o valor da constante b.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Estamos lidando com um processo adiabático em um gás, onde não há troca de calor com o ambiente. Sabemos que, para esse tipo de processo, a relação entre pressão ( p) e volume ( V) é dada por p V^gamma = C, onde C é uma constante e gamma é a constante adiabática. Além disso, temos a densidade ( rho) definida como rho = MV, onde M é a massa do gás e V é o volume. Nosso objetivo é mostrar que podemos expressar a pressão em função da densidade como p = b rho^gamma e encontrar o valor da constante b.

Passo 2

Vamos começar expressando o volume ( V) em termos da densidade ( rho). Sabemos que rho = MV, então podemos rearranjar essa equação para encontrar V:
V = Mrho

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão de V na equação adiabática original p V^gamma = C:
p ( Mrho )^gamma = C

Passo 4

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, elevamos Mrho à potência gamma:
p cdot M^gammarho^gamma = C

Passo 5

Para isolar a pressão ( p), multiplicamos ambos os lados da equação por rho^gammaM^gamma:
p = CM^gamma rho^gamma

Passo 6

Comparando com a forma que queremos, p = b rho^gamma, identificamos que:
b = CM^gamma

Resposta

Portanto, a constante b é igual a CM^gamma.

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