Considere o produto interno canônica no
. Mostre que, para cada vetor unitário
, existe um único
tal que
;
Passo 1
Beleza, então a gente tem um vetor unitário
no plano
. Um vetor unitário é aquele que tem comprimento (ou módulo) igual a 1. O exercício pede para mostrar que pra qualquer vetor assim, a gente consegue encontrar um ângulo
entre 0 e
tal que o vetor seja igual a
. Pra resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e propriedades dos vetores no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um vetor ser unitário. Se
é um vetor em
, ser unitário significa que:
Isso nos dá a equação:
Essa equação é bem conhecida: descreve um círculo de raio 1 centrado na origem do plano. Ou seja, qualquer ponto
que satisfaz essa equação está na circunferência unitária.
Passo 3
Agora, vamos pensar em trigonometria. Sabemos que para qualquer ângulo
, os valores de
e
também satisfazem a equação:
Isso significa que
também está na circunferência unitária. Portanto, se a gente conseguir encontrar um
tal que
e
, teremos mostrado que
.
Passo 4
Para encontrar esse
, podemos usar a função arco-tangente. Sabemos que:
Então, podemos resolver para
:
Porém, precisamos ter cuidado com os quadrantes onde
e
estão, já que a função
por si só só nos dá valores entre
e
. Para garantir que
esteja entre 0 e
, analisamos o sinal de
e
e ajustamos
conforme necessário.
Passo 5
Vamos ver os diferentes casos:
-
Primeiro Quadrante (
e ): -
Segundo Quadrante (
e ): -
Terceiro Quadrante (
e ): -
Quarto Quadrante (
e ):
Dessa forma, garantimos que
estará sempre no intervalo
.
Passo 6
Agora, sobre a unicidade, percebemos que para cada
em
, o par
é único, porque uma vez fixado o ângulo, os valores de
e
são determinados. Além disso, não há dois ângulos diferentes em
que resultem no mesmo par de coordenadas
.
Resposta
Portanto, para todo vetor unitário
, existe um único
tal que
.