Considere o produto interno canônica no R^2. Mostre que, para cada vetor unitário u in R^2, existe um único theta in[0,2 pi) tal que u=(cos (theta), sin (theta));

Passo 1

Beleza, então a gente tem um vetor unitário no plano . Um vetor unitário é aquele que tem comprimento (ou módulo) igual a 1. O exercício pede para mostrar que pra qualquer vetor assim, a gente consegue encontrar um ângulo entre 0 e tal que o vetor seja igual a . Pra resolver isso, vamos usar um pouco de trigonometria e propriedades dos vetores no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um vetor ser unitário. Se |u| = raizx^2 + y^2 = 1 é um vetor em x^2 + y^2 = 1 , ser unitário significa que:
Isso nos dá a equação:
Essa equação é bem conhecida: descreve um círculo de raio 1 centrado na origem do plano. Ou seja, qualquer ponto que satisfaz essa equação está na circunferência unitária.

Passo 3

Agora, vamos pensar em trigonometria. Sabemos que para qualquer ângulo cos^2(theta) + sin^2(theta) = 1 , os valores de e também satisfazem a equação:
Isso significa que também está na circunferência unitária. Portanto, se a gente conseguir encontrar um tal que e , teremos mostrado que .

Passo 4

Para encontrar esse tan(theta) = yx , podemos usar a função arco-tangente. Sabemos que:
theta = arctan(yx)
Então, podemos resolver para :
Porém, precisamos ter cuidado com os quadrantes onde e estão, já que a função por si só só nos dá valores entre e . Para garantir que esteja entre 0 e , analisamos o sinal de e e ajustamos conforme necessário.

Passo 5

Vamos ver os diferentes casos:
  1. Primeiro Quadrante ( theta = arctan(yx) e theta = arctan(yx) + pi ):
    theta = arctan(yx) + pi
  2. Segundo Quadrante ( theta = arctan(yx) + 2pi e ):
  3. Terceiro Quadrante ( e ):
  4. Quarto Quadrante ( e ):
Dessa forma, garantimos que estará sempre no intervalo .

Passo 6

Agora, sobre a unicidade, percebemos que para cada em , o par é único, porque uma vez fixado o ângulo, os valores de e são determinados. Além disso, não há dois ângulos diferentes em que resultem no mesmo par de coordenadas .

Resposta

Portanto, para todo vetor unitário , existe um único tal que .

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