Dada a matriz , encontre os valores de a, b e c de modo que A seja uma matriz ortogonal.
Passo 1
Beleza, o enunciado nos dá uma matriz e pede para encontrar os valores de , e para que seja uma matriz ortogonal. Isso está relacionado ao conteúdo de matrizes ortogonais. Para resolver, vamos precisar saber que uma matriz é ortogonal se o seu transposto é igual ao seu inverso, ou seja, , onde é a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o transposto da matriz A^T = [lll a & 0 & 0 0 & b & c 0 & c & b ] . O transposto é obtido trocando linhas por colunas:
Como já é simétrica, .
Passo 3
Agora, vamos multiplicar A^T A = [lll a & 0 & 0 0 & b & c 0 & c & b ] [lll a & 0 & 0 0 & b & c 0 & c & b ] = [lll a^2 & 0 & 0 0 & b^2 + c^2 & 2bc 0 & 2bc & b^2 + c^2 ] por I = [lll 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ] :
Para ser ortogonal, deve ser igual à matriz identidade :
Passo 4
Igualando as duas matrizes, temos:
Passo 5
Vamos resolver cada equação:
De , temos .
De , ou ou .
Se , de , temos , então .
Se , de , temos , então .
Passo 6
Portanto, as possíveis combinações são:
ou
e
e
e
e
Resposta
Os valores que tornam ortogonal são , e , ou , e .