Dada a matriz A=[llla & 0 & 0 0 & b & c 0 & c & b], encontre os valores de a, b e c de modo que A seja uma matriz ortogonal.

Passo 1

Beleza, o enunciado nos dá uma matriz e pede para encontrar os valores de , e para que seja uma matriz ortogonal. Isso está relacionado ao conteúdo de matrizes ortogonais. Para resolver, vamos precisar saber que uma matriz é ortogonal se o seu transposto é igual ao seu inverso, ou seja, , onde é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o transposto da matriz A^T = [lll a & 0 & 0 0 & b & c 0 & c & b ] . O transposto é obtido trocando linhas por colunas:
Como já é simétrica, .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar A^T A = [lll a & 0 & 0 0 & b & c 0 & c & b ] [lll a & 0 & 0 0 & b & c 0 & c & b ] = [lll a^2 & 0 & 0 0 & b^2 + c^2 & 2bc 0 & 2bc & b^2 + c^2 ] por I = [lll 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 ] :
Para ser ortogonal, deve ser igual à matriz identidade :

Passo 4

Igualando as duas matrizes, temos:

Passo 5

Vamos resolver cada equação:
  1. De , temos .
  2. De , ou ou .
    • Se , de , temos , então .
    • Se , de , temos , então .

Passo 6

Portanto, as possíveis combinações são:
  • ou
  • e
  • e
  • e
  • e

Resposta

Os valores que tornam ortogonal são , e , ou , e .

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