Suponha que
seja uma matriz invertível. Mostre que, se
, então
. Dê um exemplo de uma matriz
não nula tal que
, mas
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que precisamos fazer aqui. Temos uma matriz
que é invertível, ou seja, ela tem uma matriz inversa. A primeira parte do exercício pede para mostrar que, se
, então necessariamente
. Depois, precisamos dar um exemplo de uma matriz
que não seja nula, onde
mas
não é igual a
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente a ideia de matrizes inversas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira parte: mostrar que se
é invertível e
, então
. Vamos utilizar a propriedade das matrizes inversas para resolver isso.
Sabemos que uma matriz
é invertível se existe uma matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade.
Dada a equação
, podemos aplicar a matriz inversa
dos dois lados para isolar
e
.
Primeiro, multiplicamos ambos os lados pela inversa de
à esquerda:
Como a multiplicação de matrizes é associativa, podemos reescrever isso como:
Sabemos que
, então:
E qualquer matriz multiplicada pela identidade é ela mesma, então:
Portanto, mostramos que
deve ser igual a
se
for invertível e
.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda parte do exercício: encontrar uma matriz
que não seja nula, onde
mas
. Isso significa que precisamos de uma matriz
que não seja invertível, porque se fosse invertível, já vimos que
teria que ser igual a
.
Uma maneira de conseguir isso é escolher uma matriz singular, ou seja, uma matriz que não tem inversa. Por exemplo, podemos escolher uma matriz
cuja determinante seja zero.
Vamos considerar a seguinte matriz
:
Essa matriz não é a matriz zero, mas é singular porque seu determinante é zero (
).
Agora, vamos escolher duas matrizes
e
diferentes que satisfaçam
.
Vamos definir:
Para que
, temos:
Para que
, precisamos que
e
. No entanto, podemos escolher
ou
, o que fará com que
.
Por exemplo, seja:
Aqui,
, mas claramente
porque os elementos abaixo da primeira linha são diferentes.
Resposta
Mostramos que se
é invertível e
, então
. Além disso, encontramos um exemplo de uma matriz
não nula e singular onde
mas
: