Suponha que A seja uma matriz invertível. Mostre que, se A B=A C, então B=C. Dê um exemplo de uma matriz A não nula tal que A B=A C, mas B neq C.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que precisamos fazer aqui. Temos uma matriz que é invertível, ou seja, ela tem uma matriz inversa. A primeira parte do exercício pede para mostrar que, se , então necessariamente . Depois, precisamos dar um exemplo de uma matriz que não seja nula, onde mas não é igual a . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente a ideia de matrizes inversas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira parte: mostrar que se A^-1 A = I é invertível e A^-1 (A B) = A^-1 (A C) , então (A^-1 A) B = (A^-1 A) C . Vamos utilizar a propriedade das matrizes inversas para resolver isso.
Sabemos que uma matriz I B = I C é invertível se existe uma matriz B = C tal que:
onde é a matriz identidade.
Dada a equação , podemos aplicar a matriz inversa dos dois lados para isolar e .
Primeiro, multiplicamos ambos os lados pela inversa de à esquerda:
Como a multiplicação de matrizes é associativa, podemos reescrever isso como:
Sabemos que , então:
E qualquer matriz multiplicada pela identidade é ela mesma, então:
Portanto, mostramos que deve ser igual a se for invertível e .

Passo 3

Agora, vamos para a segunda parte do exercício: encontrar uma matriz A = 1 & 0 0 & 0 que não seja nula, onde B = a & b c & d , C = a' & b' c' & d' mas A B = 1 & 0 0 & 0 a & b c & d = a & b 0 & 0 . Isso significa que precisamos de uma matriz A C = 1 & 0 0 & 0 a' & b' c' & d' = a' & b' 0 & 0 que não seja invertível, porque se fosse invertível, já vimos que B = 1 & 2 3 & 4 , C = 1 & 2 5 & 6 teria que ser igual a 1 & 2 0 & 0 .
Uma maneira de conseguir isso é escolher uma matriz singular, ou seja, uma matriz que não tem inversa. Por exemplo, podemos escolher uma matriz cuja determinante seja zero.
Vamos considerar a seguinte matriz :
Essa matriz não é a matriz zero, mas é singular porque seu determinante é zero ( ).
Agora, vamos escolher duas matrizes e diferentes que satisfaçam .
Vamos definir:
Para que , temos:
Para que , precisamos que e . No entanto, podemos escolher ou , o que fará com que .
Por exemplo, seja:
Aqui, , mas claramente porque os elementos abaixo da primeira linha são diferentes.

Resposta

Mostramos que se A = 1 & 0 0 & 0 , B = 1 & 2 3 & 4 , C = 1 & 2 5 & 6 é invertível e , então . Além disso, encontramos um exemplo de uma matriz não nula e singular onde mas :

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