Considere no
o produto interno dado por
para todo par de vetores
e
de
.
a) Determinar m a fim de que os vetores
e (
sejam ortogonais.
a) Determinar m a fim de que os vetores
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem dois vetores no plano
com um produto interno especial definido por
. A pergunta é: para qual valor de
esses vetores
e
são ortogonais? Vamos precisar entender o que significa vetores serem ortogonais e como usar esse produto interno para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero. Ou seja,
.
Aqui, nossos vetores são
e
. Vamos calcular o produto interno deles usando a definição dada.
Passo 3
Aplicando a fórmula do produto interno:
Substituindo pelos valores dos vetores
e
:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Agora, substituindo de volta na expressão:
Passo 5
Vamos combinar os termos semelhantes:
Então temos:
Passo 6
Como queremos que os vetores sejam ortogonais, igualamos o produto interno a zero:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Passo 7
Agora, vamos resolver a equação quadrática
. Podemos fatorar:
Passo 8
Igualando cada fator a zero:
Resposta
Os valores de
que tornam os vetores
e
ortogonais são
e
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
a) verifique que e
são não colineares e não ortogonais;
a) verifique que
Mostre que as seguintes aplicações do plano no plano são transformações lineares.
(i) Dilatação (contração): definida por
, onde
.
(ii) Reflexão em torno do Eixo-X: definida por
.
(iii) Reflexão na origem: definida por
.
(iv) Rotação de um ângulo definida por
.
(i) Dilatação (contração):
(ii) Reflexão em torno do Eixo-X:
(iii) Reflexão na origem:
(iv) Rotação de um ângulo
Sendo
e
vetores unitários e ortogonais dois a dois, mostre que
, justificando.
Encontre um vetor
, sabendo que ele é perpendicular aos vetores
e
e que ele satisfaz a condição
onde