Considere no R^2 o produto interno dado por lang<= u, vrang<==x1 y1+2 x2 y2-x1 y2-x2 y1 para todo par de vetores u=(x1, x2) e v=(y1, y2) de R^2.
a) Determinar m a fim de que os vetores (1+m, 2) e ( 3, m-1) sejam ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem dois vetores no plano com um produto interno especial definido por . A pergunta é: para qual valor de esses vetores e são ortogonais? Vamos precisar entender o que significa vetores serem ortogonais e como usar esse produto interno para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero. Ou seja, .
Aqui, nossos vetores são e . Vamos calcular o produto interno deles usando a definição dada.

Passo 3

Aplicando a fórmula do produto interno:
lang<= u, v rang<= = x1 y1 + 2 x2 y2 - x1 y2 - x2 y1
Substituindo pelos valores dos vetores lang<= u, v rang<= = (1 + m) cdot 3 + 2 cdot 2 cdot (m - 1) - (1 + m) cdot (m - 1) - 2 cdot 3 e :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
  1. lang<= u, v rang<= = (3 + 3m) + (4m - 4) - (m^2 - 1) - 6
Agora, substituindo de volta na expressão:

Passo 5

Vamos combinar os termos semelhantes:
3 + 3m + 4m - 4 - m^2 + 1 - 6 = -m^2 + 7m - 6
Então temos:
lang<= u, v rang<= = -m^2 + 7m - 6

Passo 6

Como queremos que os vetores sejam ortogonais, igualamos o produto interno a zero:
-m^2 + 7m - 6 = 0
Multiplicando ambos os lados por m^2 - 7m + 6 = 0 para simplificar:

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação quadrática m^2 - 7m + 6 = (m - 1)(m - 6) = 0 . Podemos fatorar:

Passo 8

Igualando cada fator a zero:

Resposta

Os valores de que tornam os vetores e ortogonais são e .

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