Considere no o produto interno dado por para todo par de vetores e de .
a) Determinar m a fim de que os vetores e ( sejam ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem dois vetores no plano com um produto interno especial definido por . A pergunta é: para qual valor de esses vetores e são ortogonais? Vamos precisar entender o que significa vetores serem ortogonais e como usar esse produto interno para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero. Ou seja, .
Aqui, nossos vetores são e . Vamos calcular o produto interno deles usando a definição dada.

Passo 3

Aplicando a fórmula do produto interno:
Substituindo pelos valores dos vetores e :

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão passo a passo:
Agora, substituindo de volta na expressão:

Passo 5

Vamos combinar os termos semelhantes:
Então temos:

Passo 6

Como queremos que os vetores sejam ortogonais, igualamos o produto interno a zero:
Multiplicando ambos os lados por para simplificar:

Passo 7

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Podemos fatorar:

Passo 8

Igualando cada fator a zero:

Resposta

Os valores de que tornam os vetores e ortogonais são e .

Exercícios relacionados

Sejam e
a) verifique que e são não colineares e não ortogonais;
Mostre que as seguintes aplicações do plano no plano são transformações lineares.
(i) Dilatação (contração): definida por , onde .
(ii) Reflexão em torno do Eixo-X: definida por .
(iii) Reflexão na origem: definida por .
(iv) Rotação de um ângulo definida por .
Sendo e vetores unitários e ortogonais dois a dois, mostre que , justificando.
Encontre um vetor , sabendo que ele é perpendicular aos vetores e e que ele satisfaz a condição onde