Mostre que as seguintes aplicações do plano no plano são transformações lineares.
(i) Dilatação (contração):
definida por
, onde
.
(ii) Reflexão em torno do Eixo-X:
definida por
.
(iii) Reflexão na origem:
definida por
.
(iv) Rotação de um ângulo
definida por
.
(i) Dilatação (contração):
(ii) Reflexão em torno do Eixo-X:
(iii) Reflexão na origem:
(iv) Rotação de um ângulo
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que certas funções que transformam o plano no plano são transformações lineares. Isso envolve entender o que é uma transformação linear, que basicamente precisa respeitar duas propriedades: aditividade (F(u + v) = F(u) + F(v)) e homogeneidade (F(cu) = cF(u)), onde c é um número real. Vamos precisar aplicar essas propriedades para cada uma das funções listadas no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a Dilatação (contração) definida por
, onde
. Aqui,
é um escalar que multiplica as coordenadas do ponto.
Para provar que isso é uma transformação linear:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Como as duas propriedades são satisfeitas, a dilatação é uma transformação linear.
Passo 3
Agora, vamos para a Reflexão em torno do Eixo-X definida por
.
Para provar que é linear:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Como as duas propriedades são satisfeitas, a reflexão em torno do eixo-X é uma transformação linear.
Passo 4
Seguinte, temos a Reflexão na origem definida por
.
Vamos verificar as propriedades:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
As duas propriedades estão ok, então a reflexão na origem também é uma transformação linear.
Passo 5
Por último, vamos olhar a Rotação de um ângulo
definida por
.
Vamos ver as propriedades:
- Aditividade:
- Homogeneidade:
Ambas as propriedades são satisfeitas, então a rotação de um ângulo
também é uma transformação linear.
Resposta
Todas as aplicações listadas são transformações lineares, pois satisfazem as propriedades de aditividade e homogeneidade.