Mostre que as seguintes aplicações do plano no plano são transformações lineares.
(i) Dilatação (contração): definida por , onde .
(ii) Reflexão em torno do Eixo-X: definida por .
(iii) Reflexão na origem: definida por .
(iv) Rotação de um ângulo definida por .
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que certas funções que transformam o plano no plano são transformações lineares. Isso envolve entender o que é uma transformação linear, que basicamente precisa respeitar duas propriedades: aditividade (F(u + v) = F(u) + F(v)) e homogeneidade (F(cu) = cF(u)), onde c é um número real. Vamos precisar aplicar essas propriedades para cada uma das funções listadas no enunciado.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a **Dilatação (contração)** definida por , onde . Aqui, é um escalar que multiplica as coordenadas do ponto.
Para provar que isso é uma transformação linear:
- **Aditividade**:
- **Homogeneidade**:
Como as duas propriedades são satisfeitas, a dilatação é uma transformação linear.
Passo 3
Agora, vamos para a **Reflexão em torno do Eixo-X** definida por .
Para provar que é linear:
- **Aditividade**:
- **Homogeneidade**:
Como as duas propriedades são satisfeitas, a reflexão em torno do eixo-X é uma transformação linear.
Passo 4
Seguinte, temos a **Reflexão na origem** definida por .
Vamos verificar as propriedades:
- **Aditividade**:
- **Homogeneidade**:
As duas propriedades estão ok, então a reflexão na origem também é uma transformação linear.
Passo 5
Por último, vamos olhar a **Rotação de um ângulo ** definida por .
Vamos ver as propriedades:
- **Aditividade**:
- **Homogeneidade**:
Ambas as propriedades são satisfeitas, então a rotação de um ângulo também é uma transformação linear.
Resposta
Todas as aplicações listadas são transformações lineares, pois satisfazem as propriedades de aditividade e homogeneidade.
Exercícios relacionados
[Questão prova] Seja a transformação linear definida por
(i) Calcule , onde é base do e é base do .
(ii) Calcule , onde é como no item (i) acima e é a base canônica do .
Sejam e
a) verifique que e são não colineares e não ortogonais;
Considere no o produto interno dado por para todo par de vetores e de .
a) Determinar m a fim de que os vetores e ( sejam ortogonais.