Mostre que as seguintes aplicações do plano no plano são transformações lineares. (i) Dilatação (contração): definida por , onde . (ii) Reflexão em torno do Eixo-X: definida por . (iii) Reflexão na origem: definida por . (iv) Rotação de um ângulo definida por .

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que certas funções que transformam o plano no plano são transformações lineares. Isso envolve entender o que é uma transformação linear, que basicamente precisa respeitar duas propriedades: aditividade (F(u + v) = F(u) + F(v)) e homogeneidade (F(cu) = cF(u)), onde c é um número real. Vamos precisar aplicar essas propriedades para cada uma das funções listadas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a **Dilatação (contração)** definida por , onde . Aqui, é um escalar que multiplica as coordenadas do ponto. Para provar que isso é uma transformação linear: - **Aditividade**: - **Homogeneidade**: Como as duas propriedades são satisfeitas, a dilatação é uma transformação linear.

Passo 3

Agora, vamos para a **Reflexão em torno do Eixo-X** definida por . Para provar que é linear: - **Aditividade**: - **Homogeneidade**: Como as duas propriedades são satisfeitas, a reflexão em torno do eixo-X é uma transformação linear.

Passo 4

Seguinte, temos a **Reflexão na origem** definida por . Vamos verificar as propriedades: - **Aditividade**: - **Homogeneidade**: As duas propriedades estão ok, então a reflexão na origem também é uma transformação linear.

Passo 5

Por último, vamos olhar a **Rotação de um ângulo ** definida por . Vamos ver as propriedades: - **Aditividade**: - **Homogeneidade**: Ambas as propriedades são satisfeitas, então a rotação de um ângulo também é uma transformação linear.

Resposta

Todas as aplicações listadas são transformações lineares, pois satisfazem as propriedades de aditividade e homogeneidade.

Exercícios relacionados

[Questão prova] Seja a transformação linear definida por (i) Calcule , onde é base do e é base do . (ii) Calcule , onde é como no item (i) acima e é a base canônica do .
Sejam e a) verifique que e são não colineares e não ortogonais;
Considere no o produto interno dado por para todo par de vetores e de . a) Determinar m a fim de que os vetores e ( sejam ortogonais.