Mostre que as seguintes aplicações do plano no plano são transformações lineares.
(i) Dilatação (contração): F: R^2 R^2 definida por F(x, y)=alpha(x, y), onde alpha in R.
(ii) Reflexão em torno do Eixo-X: F: R^2 R^2 definida por F(x, y)=(x,-y).
(iii) Reflexão na origem: F: R^2 R^2 definida por F(x, y)=(-x,-y).
(iv) Rotação de um ângulo theta: Rtheta: R^2 R^2 definida por Rtheta(x, y)=(x cos theta-y sen theta, y cos theta+x sen theta).

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para mostrar que certas funções que transformam o plano no plano são transformações lineares. Isso envolve entender o que é uma transformação linear, que basicamente precisa respeitar duas propriedades: aditividade (F(u + v) = F(u) + F(v)) e homogeneidade (F(cu) = cF(u)), onde c é um número real. Vamos precisar aplicar essas propriedades para cada uma das funções listadas no enunciado.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a Dilatação (contração) definida por , onde . Aqui, é um escalar que multiplica as coordenadas do ponto.
Para provar que isso é uma transformação linear:
  • Aditividade:
  • Homogeneidade:
Como as duas propriedades são satisfeitas, a dilatação é uma transformação linear.

Passo 3

Agora, vamos para a Reflexão em torno do Eixo-X definida por .
Para provar que é linear:
  • Aditividade:
  • Homogeneidade:
Como as duas propriedades são satisfeitas, a reflexão em torno do eixo-X é uma transformação linear.

Passo 4

Seguinte, temos a Reflexão na origem definida por .
Vamos verificar as propriedades:
  • Aditividade:
  • Homogeneidade:
As duas propriedades estão ok, então a reflexão na origem também é uma transformação linear.

Passo 5

Por último, vamos olhar a Rotação de um ângulo Rtheta((x1, y1) + (x2, y2)) = Rtheta(x1 + x2, y1 + y2) definida por = ((x1 + x2) cos theta - (y1 + y2) sin theta, (y1 + y2) cos theta + (x1 + x2) sin theta) .
Vamos ver as propriedades:
  • Aditividade: = (x1 cos theta - y1 sin theta, y1 cos theta + x1 sin theta) + (x2 cos theta - y2 sin theta, y2 cos theta + x2 sin theta) = Rtheta(x1, y1) + Rtheta(x2, y2) Rtheta(c(x, y)) = Rtheta(cx, cy) = (cx cos theta - cy sin theta, cy cos theta + cx sin theta) = c(x cos theta - y sin theta, y cos theta + x sin theta) = c Rtheta(x, y)
  • Homogeneidade:
Ambas as propriedades são satisfeitas, então a rotação de um ângulo também é uma transformação linear.

Resposta

Todas as aplicações listadas são transformações lineares, pois satisfazem as propriedades de aditividade e homogeneidade.

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