Encontre um vetor a, sabendo que ele é perpendicular aos vetores u=(1,-1,2) e v=(3,0,1) e que ele satisfaz a condição lang<=a, brang<==3 onde b=(2,-1,3) (-3 / 2,15 / 2,9 / 2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor que seja perpendicular aos vetores e . Além disso, esse vetor também deve satisfazer a condição de que o produto interno com seja igual a 3. Para resolver isso, vamos utilizar o produto vetorial e o produto escalar da matemática vetorial.

Passo 2

Primeiro, como u times v = i & j & k 1 & -1 & 2 3 & 0 & 1 é perpendicular tanto a u times v = i((-1)(1) - (2)(0)) - j((1)(1) - (2)(3)) + k((1)(0) - (-1)(3)) quanto a u times v = i(-1) - j(-5) + k(3) , a gente pode encontrar u times v = (-1, 5, 3) fazendo o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de a = k cdot (-1, 5, 3) e vai nos dar um vetor que é perpendicular aos dois.
Calculando o determinante:
Então, é um múltiplo desse vetor. Vamos chamar esse múltiplo de , ou seja:

Passo 3

Agora, precisamos usar a condição que o produto interno lang<= a, b rang<= = a1b1 + a2b2 + a3b3 . O produto interno (ou escalar) de dois vetores lang<= k cdot (-1, 5, 3), (-32, 152, 92) rang<= = 3 e k cdot [ (-1) cdot (-32) + 5 cdot (152) + 3 cdot (92) ] = 3 é dado por:
k cdot ( 32 + 752 + 272 ) = 3
Substituindo k cdot 1052 = 3 e :

Passo 4

Agora, vamos resolver para k = 31052 = 6105 = 235 :

Resposta

Portanto, o vetor a = (-235, 27, 635) que satisfaz todas as condições do exercício é:

Exercícios relacionados