Encontre um vetor , sabendo que ele é perpendicular aos vetores e e que ele satisfaz a condição onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor que seja perpendicular aos vetores e . Além disso, esse vetor também deve satisfazer a condição de que o produto interno com seja igual a 3. Para resolver isso, vamos utilizar o produto vetorial e o produto escalar da matemática vetorial.
Passo 2
Primeiro, como é perpendicular tanto a quanto a , a gente pode encontrar fazendo o produto vetorial desses dois vetores. O produto vetorial de e vai nos dar um vetor que é perpendicular aos dois.
Calculando o determinante:
Então, é um múltiplo desse vetor. Vamos chamar esse múltiplo de , ou seja:
Passo 3
Agora, precisamos usar a condição que o produto interno lang<= a, b rang<= = a1b1 + a2b2 + a3b3 . O produto interno (ou escalar) de dois vetores lang<= k cdot (-1, 5, 3), (-32, 152, 92) rang<= = 3 e k cdot [ (-1) cdot (-32) + 5 cdot (152) + 3 cdot (92) ] = 3 é dado por:
k cdot ( 32 + 752 + 272 ) = 3
Substituindo k cdot 1052 = 3 e :
Passo 4
Agora, vamos resolver para k = 31052 = 6105 = 235 :
Resposta
Portanto, o vetor a = (-235, 27, 635) que satisfaz todas as condições do exercício é: