Sendo e vetores unitários e ortogonais dois a dois, mostre que , justificando.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem três vetores, , e , que são unitários (ou seja, têm comprimento 1) e ortogonais entre si (ou seja, formam ângulos de 90 graus entre eles). O exercício quer que a gente mostre que o quadrado do comprimento da soma desses vetores, , é igual a 3. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de vetores, como norma, produto escalar e ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o comprimento (ou norma) de um vetor é dado por . Quando temos a soma de vetores, a norma dessa soma pode ser calculada usando o produto escalar. A fórmula para o quadrado da norma de uma soma de vetores é:

Passo 3

Expandindo o produto escalar, temos:

Passo 4

Sabemos que vetores ortogonais têm produto escalar igual a zero, ou seja, . Além disso, como são vetores unitários, .

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão expandida, temos:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados

Considere no o produto interno dado por para todo par de vetores e de .
a) Determinar m a fim de que os vetores e ( sejam ortogonais.
Sejam e
a) verifique que e são não colineares e não ortogonais;
Encontre um vetor , sabendo que ele é perpendicular aos vetores e e que ele satisfaz a condição onde
Sejam e
b) calcule o vetor projeção (ortogonal) de sobre