Sendo u, v e w vetores unitários e ortogonais dois a dois, mostre que |u+v+w|^2=3, justificando.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem três vetores, , e , que são unitários (ou seja, têm comprimento 1) e ortogonais entre si (ou seja, formam ângulos de 90 graus entre eles). O exercício quer que a gente mostre que o quadrado do comprimento da soma desses vetores, , é igual a 3. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de vetores, como norma, produto escalar e ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o comprimento (ou norma) de um vetor |a + b + c|^2 = (a + b + c) cdot (a + b + c) é dado por . Quando temos a soma de vetores, a norma dessa soma pode ser calculada usando o produto escalar. A fórmula para o quadrado da norma de uma soma de vetores é:

Passo 3

Expandindo o produto escalar, temos:
(a + b + c) cdot (a + b + c) = acdota + acdotb + acdotc + bcdota + bcdotb + bcdotc + ccdota + ccdotb + ccdotc

Passo 4

Sabemos que vetores ortogonais têm produto escalar igual a zero, ou seja, . Além disso, como são vetores unitários, .

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão expandida, temos:
|u + v + w|^2 = 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 = 3

Resposta

Portanto, .

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