Sendo
e
vetores unitários e ortogonais dois a dois, mostre que
, justificando.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem três vetores,
,
e
, que são unitários (ou seja, têm comprimento 1) e ortogonais entre si (ou seja, formam ângulos de 90 graus entre eles). O exercício quer que a gente mostre que o quadrado do comprimento da soma desses vetores,
, é igual a 3. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de vetores, como norma, produto escalar e ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o comprimento (ou norma) de um vetor
é dado por
. Quando temos a soma de vetores, a norma dessa soma pode ser calculada usando o produto escalar. A fórmula para o quadrado da norma de uma soma de vetores é:
Passo 3
Expandindo o produto escalar, temos:
Passo 4
Sabemos que vetores ortogonais têm produto escalar igual a zero, ou seja,
. Além disso, como são vetores unitários,
.
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão expandida, temos:
Resposta
Portanto,
.
Exercícios relacionados
Considere no
o produto interno dado por
para todo par de vetores
e
de
.
a) Determinar m a fim de que os vetores e (
sejam ortogonais.
a) Determinar m a fim de que os vetores
Sejam
e
a) verifique que e
são não colineares e não ortogonais;
a) verifique que
Encontre um vetor
, sabendo que ele é perpendicular aos vetores
e
e que ele satisfaz a condição
onde
Sejam
e
b) calcule o vetor projeção (ortogonal) de sobre
b) calcule o vetor projeção (ortogonal) de