Considere o produto interno lang<= f(t), g(t)rang<==integral0^1 f(t) cdot g(t) d t em P2(R). Sejam f(t)=t+2 e g(t)=t^2-2 t+3. Determine:
: (a) lang<= f, grang<=;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre produto interno no espaço dos polinômios de grau 2, P2(R). A gente vai precisar calcular o produto interno entre duas funções f(t) = t + 2 e g(t) = t^2 - 2t + 3 usando a definição de produto interno dada por:
lang<= f(t), g(t)rang<= = integral0^1 f(t) cdot g(t) , dt
Então, vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa multiplicar as duas funções f(t) e g(t). Vamos fazer isso:
f(t) cdot g(t) = (t + 2)(t^2 - 2t + 3)
Para multiplicar, vamos distribuir cada termo:
= t cdot t^2 + t cdot (-2t) + t cdot 3 + 2 cdot t^2 + 2 cdot (-2t) + 2 cdot 3
Simplificando:
= t^3 - 2t^2 + 3t + 2t^2 - 4t + 6
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
= t^3 + (-2t^2 + 2t^2) + (3t - 4t) + 6
= t^3 - t + 6

Passo 3

Agora que temos a expressão simplificada do produto f(t) cdot g(t) = t^3 - t + 6, vamos calcular a integral dessa expressão de 0 a 1:
lang<= f, grang<= = integral0^1 (t^3 - t + 6) , dt
Vamos integrar termo a termo:
integral t^3 , dt = t^44
integral (-t) , dt = -t^22
integral 6 , dt = 6t
Então, a integral fica:
t^44 - t^22 + 6t |0^1

Passo 4

Agora, vamos avaliar a integral nos limites de 0 a 1:
Primeiro, para t = 1:
1^44 - 1^22 + 6 cdot 1 = 14 - 12 + 6
= 14 - 24 + 244 = 234
Depois, para t = 0:
0^44 - 0^22 + 6 cdot 0 = 0 - 0 + 0 = 0

Resposta

Portanto, o produto interno lang<= f, grang<= é:
lang<= f, grang<= = 234

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