Mostre que x-y é ortogonal a x+y se, e somente se, |x|=|y|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente demonstrar que o vetor é ortogonal ao vetor se, e somente se, as normas de e são iguais, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar e norma vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, se , então e são ortogonais.

Passo 3

Então, queremos mostrar que (x - y) cdot (x + y) = 0 é ortogonal a . Segundo a definição que acabamos de ver, isso significa que o produto escalar desses dois vetores deve ser igual a zero:

Passo 4

Vamos calcular esse produto escalar passo a passo. Distribuindo os termos, temos:
(x - y) cdot (x + y) = x cdot x + x cdot y - y cdot x - y cdot y
Lembrando que o produto escalar é comutativo, ou seja, x cdot x - y cdot y = 0 , podemos simplificar:

Passo 5

Agora, sabemos que |x|^2 - |y|^2 = 0 é igual ao quadrado da norma de |x|^2 = |y|^2 , ou seja, |x| = |y| , e o mesmo vale para :
Isso implica que:
E tirando a raiz quadrada dos dois lados, obtemos:

Resposta

Portanto, mostramos que é ortogonal a se, e somente se, .

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