Mostre que
é ortogonal a
se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente demonstrar que o vetor
é ortogonal ao vetor
se, e somente se, as normas de
e
são iguais, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de produto escalar e norma vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois vetores serem ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Ou seja, se
, então
e
são ortogonais.
Passo 3
Então, queremos mostrar que
é ortogonal a
. Segundo a definição que acabamos de ver, isso significa que o produto escalar desses dois vetores deve ser igual a zero:
Passo 4
Vamos calcular esse produto escalar passo a passo. Distribuindo os termos, temos:
Lembrando que o produto escalar é comutativo, ou seja,
, podemos simplificar:
Passo 5
Agora, sabemos que
é igual ao quadrado da norma de
, ou seja,
, e o mesmo vale para
:
Isso implica que:
E tirando a raiz quadrada dos dois lados, obtemos:
Resposta
Portanto, mostramos que
é ortogonal a
se, e somente se,
.