Verifique se
é um produto interno.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se a função
definida por
é um produto interno. Isso envolve a área de Álgebra Linear, mais especificamente os produtos internos (ou escalares). Para resolver isso, vamos checar se
satisfaz as propriedades necessárias de um produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que uma função precisa ter para ser um produto interno:
- Comutatividade:
- Linearidade no primeiro argumento:
- Positividade definida:
e somente se for o vetor zero.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função
.
Passo 3
1. Comutatividade:
Vamos trocar
e
:
Comparando com
, vemos que:
O que é sempre verdadeiro, já que
e
. Então, a comutatividade está ok.
Passo 4
2. Linearidade no primeiro argumento:
Vamos verificar se para quaisquer escalares
e vetores
:
Sejam
e
. Então:
Calculando
:
Distribuindo:
Portanto, a linearidade no primeiro argumento também está satisfeita.
Passo 5
3. Positividade definida:
Precisamos verificar se
para todo
, e que
somente quando
é o vetor zero.
Calculando
:
Queremos que
.
No entanto, isso nem sempre é verdadeiro. Por exemplo, se
e
, teremos:
Isso viola a condição de positividade definida, já que encontramos vetores onde
.
Resposta
Como a função
não satisfaz a propriedade de positividade definida, ela não é um produto interno.