Verifique se
f: R^2 times R^2 & R f((x1, x2),(y1, y2)) & x1 y1-3 x2 y2
é um produto interno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificarmos se a função f((x1, x2),(y1, y2)) = x1 y1 - 3 x2 y2 definida por
é um produto interno. Isso envolve a área de Álgebra Linear, mais especificamente os produtos internos (ou escalares). Para resolver isso, vamos checar se satisfaz as propriedades necessárias de um produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar quais são as propriedades que uma função precisa ter para ser um produto interno:
  1. Comutatividade:
  2. Linearidade no primeiro argumento:
  3. Positividade definida: e somente se for o vetor zero.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função .

Passo 3

1. Comutatividade:
Vamos trocar f(v, u) = f((y1, y2),(x1, x2)) = y1 x1 - 3 y2 x2 e f(u, v) = f(v, u) se e somente se x1 y1 - 3 x2 y2 = y1 x1 - 3 y2 x2 :
Comparando com , vemos que:
O que é sempre verdadeiro, já que e . Então, a comutatividade está ok.

Passo 4

2. Linearidade no primeiro argumento:
Vamos verificar se para quaisquer escalares f(a u + b w, v) = a f(u, v) + b f(w, v) e vetores a u + b w = (a x1 + b z1, a x2 + b z2) :
f((a x1 + b z1, a x2 + b z2), (y1, y2)) = (a x1 + b z1) y1 - 3 (a x2 + b z2) y2
Sejam = a x1 y1 + b z1 y1 - 3 a x2 y2 - 3 b z2 y2 = a (x1 y1 - 3 x2 y2) + b (z1 y1 - 3 z2 y2) = a f(u, v) + b f(w, v) e . Então:
Calculando :
Distribuindo:
Portanto, a linearidade no primeiro argumento também está satisfeita.

Passo 5

3. Positividade definida:
Precisamos verificar se f((x1, x2), (x1, x2)) = x1^2 - 3 x2^2 para todo f(u, u) = -3 x2^2 < 0 , e que somente quando é o vetor zero.
Calculando :
Queremos que .
No entanto, isso nem sempre é verdadeiro. Por exemplo, se e , teremos:
Isso viola a condição de positividade definida, já que encontramos vetores onde .

Resposta

Como a função não satisfaz a propriedade de positividade definida, ela não é um produto interno.

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