Considere a projeção ortogonal
sobre a reta
. Determine uma base de
de forma que a matriz de
nesta base seja
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma projeção ortogonal
sobre a reta
. O conteúdo envolvido aqui é sobre projeções lineares e mudança de base em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como as projeções funcionam e como escolher uma base adequada para que a matriz da projeção
nessa nova base seja a matriz dada:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma projeção ortogonal. Basicamente, projetar um vetor sobre uma reta significa encontrar o ponto na reta mais próximo desse vetor. Matematicamente, isso envolve decompor qualquer vetor em duas partes: uma na direção da reta e outra perpendicular a ela.
No nosso caso, a reta é
. Podemos pensar em um vetor que aponta nessa direção, por exemplo,
.
Passo 3
Agora, para encontrar a projeção ortogonal, precisamos de dois vetores que formam uma base para
: um na direção da reta
e outro perpendicular a ela.
Já temos
. Vamos encontrar um vetor perpendicular a
. Um vetor perpendicular pode ser obtido trocando os componentes e mudando o sinal de um deles. Assim, podemos escolher
.
Passo 4
Com esses vetores
e
, temos uma base para
. Vamos verificar se eles são realmente uma base, ou seja, se são linearmente independentes. Calculando o determinante da matriz formada por
e
:
Como o determinante é diferente de zero,
e
são de fato uma base.
Passo 5
Agora, queremos que a matriz da projeção
nessa base seja:
Isso significa que, na direção de
, a projeção deve manter o componente (por isso ‘1’) e na direção de
, a projeção deve eliminar o componente (por isso ‘0’).
Passo 6
Portanto, a base que escolhemos,
, já satisfaz essa condição. Na direção de
, a projeção não altera o vetor, e na direção de
, a projeção zera o vetor.
Resposta
A base desejada é formada pelos vetores
e
. Ou seja, uma base de
que faz a matriz de
ser
é: