Considere a projeção ortogonal P: R^2 longrightarrow R^2 sobre a reta y=5 x. Determine uma base de R^2 de forma que a matriz de P nesta base seja [ll1 & 0 0 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma projeção ortogonal 1 & 0 0 & 0 sobre a reta . O conteúdo envolvido aqui é sobre projeções lineares e mudança de base em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar entender como as projeções funcionam e como escolher uma base adequada para que a matriz da projeção nessa nova base seja a matriz dada:

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma projeção ortogonal. Basicamente, projetar um vetor sobre uma reta significa encontrar o ponto na reta mais próximo desse vetor. Matematicamente, isso envolve decompor qualquer vetor em duas partes: uma na direção da reta e outra perpendicular a ela.
No nosso caso, a reta é 1 5 . Podemos pensar em um vetor que aponta nessa direção, por exemplo, .

Passo 3

Agora, para encontrar a projeção ortogonal, precisamos de dois vetores que formam uma base para 1 5 : um na direção da reta 5 -1 e outro perpendicular a ela.
Já temos . Vamos encontrar um vetor perpendicular a . Um vetor perpendicular pode ser obtido trocando os componentes e mudando o sinal de um deles. Assim, podemos escolher .

Passo 4

Com esses vetores det 1 & 5 5 & -1 = (1)(-1) - (5)(5) = -1 - 25 = -26 neq 0 e , temos uma base para . Vamos verificar se eles são realmente uma base, ou seja, se são linearmente independentes. Calculando o determinante da matriz formada por e :
Como o determinante é diferente de zero, e são de fato uma base.

Passo 5

Agora, queremos que a matriz da projeção 1 & 0 0 & 0 nessa base seja:
Isso significa que, na direção de , a projeção deve manter o componente (por isso ‘1’) e na direção de , a projeção deve eliminar o componente (por isso ‘0’).

Passo 6

Portanto, a base que escolhemos, , já satisfaz essa condição. Na direção de , a projeção não altera o vetor, e na direção de , a projeção zera o vetor.

Resposta

A base desejada é formada pelos vetores 1 5 e 5 -1 . Ou seja, uma base de 1 & 0 0 & 0 que faz a matriz de , 1 5 , 5 -1 , ser é:

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