Seja
um operador linear definido por
. Mostre que
e conclua que,
, existe
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear
definido por
. Nosso objetivo é mostrar que o núcleo de
só contém o polinômio zero, ou seja,
. E além disso, concluir que para qualquer polinômio
em
, existe um polinômio
tal que
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o núcleo de um operador linear. O núcleo
é o conjunto de todos os polinômios
em
que satisfazem
. Nosso objetivo é provar que o único polinômio que satisfaz essa equação é o polinômio zero.
Então, vamos assumir que existe um polinômio
tal que
. Ou seja:
Isso é uma equação diferencial para
. Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem. A gente pode resolver encontrando as raízes da equação característica associada. A equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática:
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral do polinômio
é:
No entanto, estamos trabalhando no espaço dos polinômios
, que só contém funções polinomiais. As exponenciais
não são polinômios, a menos que
. Portanto, a única solução polinomial possível é
.
Passo 4
Como
, isso significa que o operador
é injetor. Em espaços finitamente dimensionais, como
, um operador linear injetor também é sobrejetor. Ou seja, para qualquer polinômio
em
, existe um polinômio
em
tal que
.
Isso completa a prova que queríamos.
Resposta
Portanto,
e para todo
, existe um polinômio
tal que
.
Exercícios relacionados
Sejam
e o conjunto de vetores
em V , onde
e
. Determine o valor de
para que
seja uma base de
.
Sejam
transformações lineares. Suponha que
e
. Mostre que
, para todo
.
Verifique quais transformações abaixo são lineares.
Considere a projeção ortogonal
sobre a reta
. Determine uma base de
de forma que a matriz de
nesta base seja