Mostre A, n times n, é invertivel se, e somente se A^t A é invertivel.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que uma matriz quadrada de ordem é invertível se e somente se o produto também for invertível. Vamos usar conceitos de álgebra linear como matriz invertível, transposta e determinante para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz é invertível se existe outra matriz tal que , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Agora, vamos pensar no produto . Aqui, é a transposta de , ou seja, uma matriz onde as linhas e colunas de foram trocadas.

Passo 4

Para mostrar que é invertível se e somente se é invertível, vamos analisar os determinantes. Sabemos que e para matrizes quadradas.

Passo 5

Se é invertível, então . Portanto, . Como , , então é invertível.

Passo 6

Conversamente, se é invertível, então . Como , isso implica que , o que significa que é invertível.

Resposta

Portanto, mostramos que a matriz é invertível se e somente se é invertível.

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