Mostre
, é invertivel se,
somente se
é invertivel.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que uma matriz quadrada
de ordem
é invertível se e somente se o produto
também for invertível. Vamos usar conceitos de álgebra linear como matriz invertível, transposta e determinante para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz
é invertível se existe outra matriz
tal que
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, vamos pensar no produto
. Aqui,
é a transposta de
, ou seja, uma matriz onde as linhas e colunas de
foram trocadas.
Passo 4
Para mostrar que
é invertível se e somente se
é invertível, vamos analisar os determinantes. Sabemos que
e
para matrizes quadradas.
Passo 5
Se
é invertível, então
. Portanto,
. Como
,
, então
é invertível.
Passo 6
Conversamente, se
é invertível, então
. Como
, isso implica que
, o que significa que
é invertível.
Resposta
Portanto, mostramos que a matriz
é invertível se e somente se
é invertível.
Exercícios relacionados
Determine se as matrizes estão na forma escalonada reduzida:
(h)
(h)
Considere a projeção ortogonal
sobre a reta
. Determine uma base de
de forma que a matriz de
nesta base seja
Responda:
(a) Quais são as operações elementares sobre linhas?
(a) Quais são as operações elementares sobre linhas?
Encontre a transformação linear
tal que
e
.