Verifique quais transformações abaixo são lineares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a transformação
, definida por
, é linear. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, que estudamos em Álgebra Linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
- Adição de Vetores: Para quaisquer vetores
e no domínio, . - Multiplicação por Escalar: Para qualquer vetor
no domínio e qualquer escalar , .
Outra forma mais simples de verificar se uma transformação é linear é conferir se
, onde
é o vetor nulo no domínio. Se isso não for verdadeiro, a transformação não é linear.
Passo 3
Vamos aplicar essa verificação na transformação dada. Calculamos
:
Para ser linear, precisamos que
. Mas aqui vimos que
, que é diferente de
.
Passo 4
Como
, já podemos concluir que a transformação
não é linear. Isso acontece porque a presença do “+1” na primeira componente da transformação acrescenta um deslocamento que impede que a transformação mantenha a estrutura direta que uma transformação linear exige.
Resposta
A transformação
não é linear.