Verifique quais transformações abaixo são lineares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a transformação , definida por , é linear. Para isso, vamos usar conceitos de transformações lineares, que estudamos em Álgebra Linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Adição de Vetores: Para quaisquer vetores e no domínio, .
  2. Multiplicação por Escalar: Para qualquer vetor no domínio e qualquer escalar , .
Outra forma mais simples de verificar se uma transformação é linear é conferir se , onde é o vetor nulo no domínio. Se isso não for verdadeiro, a transformação não é linear.

Passo 3

Vamos aplicar essa verificação na transformação dada. Calculamos :
Para ser linear, precisamos que . Mas aqui vimos que , que é diferente de .

Passo 4

Como , já podemos concluir que a transformação não é linear. Isso acontece porque a presença do “+1” na primeira componente da transformação acrescenta um deslocamento que impede que a transformação mantenha a estrutura direta que uma transformação linear exige.

Resposta

A transformação não é linear.

Exercícios relacionados

Seja um operador linear definido por . Mostre que e conclua que, , existe tal que .
Sejam e o conjunto de vetores em V , onde e . Determine o valor de para que seja uma base de .
Considere a projeção ortogonal sobre a reta . Determine uma base de de forma que a matriz de nesta base seja
Determine se as matrizes estão na forma escalonada reduzida:
(h)